1.1. Calcule, quando existirem, os limites abaixo:

r) lim x → 1 + ⁡ sin ⁡ x 3 - 1 cos ⁡ 1 1 - x x - 1

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nesse problema temos que obter o limite da função f x = sin ⁡ x 3 - 1 cos ⁡ 1 1 - x x - 1 para x tendendo a 1 + .

Tem ideia de como fazemos isso? 🤔

O cálculo de limite nada mais é o valor que a função f x tende para quando tendemos a um determinado valor a .

Nesse caso, não podemos simplesmente substituir x por 1 e encontrar f 1 pois se fizermos isso, vamos cair em uma indeterminação 0 / 0 .

Vamos analisar como a função se comporta aos arredores de x = 1 . 👀

Passo 2

Nesse problema, podemos aplicar o teorema do confronto, veja só!

Sabemos que a função cosseno está contida entre - 1 e 1 , ou seja

- 1 ≤ cos ⁡ 1 1 - x ≤ 1

Multiplicando todos os lados por sin ⁡ x 3 - 1 x - 1 , temos

- sin ⁡ x 3 - 1 x - 1 ≤ sin ⁡ x 3 - 1 cos ⁡ 1 1 - x x - 1 ≤ sin ⁡ x 3 - 1 x - 1

Aplicando o limite em todos os lados...

lim x → 1 + ⁡ - sin ⁡ x 3 - 1 x - 1 ≤ lim x → 1 + ⁡ sin ⁡ x 3 - 1 cos ⁡ 1 1 - x x - 1 ≤ lim x → 1 + ⁡ sin ⁡ x 3 - 1 x - 1

Derivando o numerador e o denominador do limite de sin ⁡ x 3 - 1 x - 1 , vamos aplicar a regra de L ' H o p i t a l .

lim x → 1 + ⁡ sin ⁡ x 3 - 1 x - 1 = lim x → 1 + ⁡ d sin ⁡ x 3 - 1 d x d x - 1 d x

Pela regra da cadeia, temos

d sin ⁡ x 3 - 1 d x = d x 3 - 1 d x · d sin ⁡ u d u

d x - 1 d x = d x - 1 d x · d v d v

Pelo método de derivação polinomial e pelo teorema fundamental do cálculo, temos

d sin ⁡ x 3 - 1 d x = 3 x 2 · cos ⁡ u

d x - 1 d x = 1 · 1 2 v

Tranquilo até aqui? 😁

Passo 3

Substituindo no limite voltando u para x 3 - 1 e v para x - 1 ...

lim x → 1 + ⁡ sin ⁡ x 3 - 1 x - 1 = lim x → 1 + ⁡ 3 x 2 cos ⁡ x 3 - 1 1 2 x - 1 = lim x → 1 + ⁡ 6 x 2 x - 1 cos ⁡ x 3 - 1

Fazendo x = 1 , temos

lim x → 1 + ⁡ sin ⁡ x 3 - 1 x - 1 = lim x → 1 + ⁡ 6 x 2 x - 1 cos ⁡ x 3 - 1 = 0

E agora substituindo no teorema do confronto...

lim x → 1 + ⁡ - sin ⁡ x 3 - 1 x - 1 ≤ lim x → 1 + ⁡ sin ⁡ x 3 - 1 cos ⁡ 1 1 - x x - 1 ≤ lim x → 1 + ⁡ sin ⁡ x 3 - 1 x - 1

0 ≤ lim x → 1 + ⁡ sin ⁡ x 3 - 1 cos ⁡ 1 1 - x x - 1 ≤ 0

lim x → 1 + ⁡ sin ⁡ x 3 - 1 cos ⁡ 1 1 - x x - 1 = 0

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

lim x → 1 + ⁡ sin ⁡ x 3 - 1 cos ⁡ 1 1 - x x - 1 = 0

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