Calcule lim x → 1 ⁡ x 1000 - 1 x - 1 .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular o limite:

lim x → 1 ⁡ x 1000 - 1 x - 1

Bom, assim de cara dá pra perceber uma coisa. Repare que esse limite parece muito com a definição de derivada em um ponto:

lim x → a ⁡ f ( x ) - f ( x 0 ) x - x 0

No caso, o nosso x 0 seria 1 e o nosso f ( x ) seria igual a x 1000 . Percebendo isso e calculando a derivada no ponto, ou seja, f ' ( 1 ) . Assim, teríamos o resultado f ' 1 = 1000 .

Mas como o objetivo é calcular o limite, uma outra forma de fazer seria fatorar o numerador, simplificar a função e aplicar o limite. Então, vamos lá!

Passo 2

Podemos começar expandindo o numerador do nosso limite, lim x → 1 ⁡ x 1000 - 1 x - 1 , na forma:

lim x → 1 ⁡ ( x - 1 ) ( x 999 + x 998 + … + x 2 + x + 1 ) x - 1

Assim, simplificando com o termo do denominador, temos:

l i m x → 1   ( x 999 + x 998 + … + x 2 + x + 1 )

De forma que saímos da indeterminação. Então podemos aplicar o limite, substituindo x = 1 na função:

1 999 + 1 998 + 1 997 + … + 1 2 + 1 + 1

E como 1 elevado a qualquer número é igual a ele mesmo, temos:

1 + 1 + 1 + … + 1 + 1 + 1 = 1000

Portanto, esse é o resultado do nosso limite, que é o mesmo resultado que encontramos calculando f ' 1 .

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

1000

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