Calcule lim x → 0 + ⁡ x sin 2 ⁡ ( ln ⁡ ( x ) ) .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular o limite da função x sin 2 ⁡ ( ln ⁡ ( x ) ) quando x se aproxima muito de 0 pela direita, ou seja, por valores maiores do que zero.

O Teorema do Confronto (ou teorema do Sanduíche) pode nos ajudar nesse caso, porque ele nos diz que se temos uma função g x entre duas outras funções f ( x ) e h ( x ) :

f x ≤ g x ≤ h ( x )

Aplicando o limite nas três:

lim x → a ⁡ f x ≤ lim x → a ⁡ g x ≤ lim x → a ⁡ h x

E lim x → a ⁡ f x = lim x → a ⁡ h x = L , então lim x → p ⁡ f x = L . Sacou? Precisamos encontrar uma função f menor do que g e uma função h maior do que g , tal que f ( x ) e h ( x ) tendam a zero. Encontrando o limite dessas duas funções, nós vamos ter o limite de g x = x sin 2 ⁡ ( ln ⁡ ( x ) ) , porque ela está entre as duas funções.

Vamos lá!

Passo 2

Nós sabemos que o seno é uma função limitada entre - 1 e 1 , pra qualquer ângulo, então podemos escrever:

- 1 ≤ sin ⁡ ( ln ⁡ x ) ≤ 1

Elevando os termos ao quadrado:

1 ≤ sin 2 ⁡ ( ln ⁡ x ) ≤ 1

Multiplicando todo mundo por x , vamos ter:

x ≤ x sin 2 ⁡ ( ln ⁡ x ) ≤ x

Aplicando o limite fica assim:

lim x → 0 + ⁡ x ≤ lim x → 0 + ⁡ x sin 2 ⁡ ( ln ⁡ x ) ≤ lim x → 0 + ⁡ x

Então, nós temos lim x → 0 + ⁡ x = 0 . Assim, temos:

0 ≤ lim x → 0 + ⁡ x sin 2 ⁡ ( ln ⁡ x ) ≤ 0

E pelo Teorema do confronto:

lim x → 0 + ⁡ x sin 2 ⁡ ( ln ⁡ x ) = 0

Prontinho, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

lim x → 0 + ⁡ x sin 2 ⁡ ( ln ⁡ x ) = 0

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