1. Calcule o limite, se existir

n. lim h → 0 ⁡ 1 x + h 2 - 1 x 2 h

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Aqui nós temos um limite para resolver,

lim h → 0 ⁡ 1 x + h 2 - 1 x 2 h

Ele parece ser complicado, pois aparentemente temos duas variáveis x e h . Mas repara que só h → 0 , ou seja, podemos tratar x como uma constante neste caso.

A gente sempre começa substituindo o valor na função, fica assim:

lim h → 0 ⁡ 1 x + h 2 - 1 x 2 h = 1 x + 0 2 - 1 x 2 0 = 0 0

Opaaaa, caímos em uma indeterminação do tipo 0 0 .

Então bora sair dessa!

Passo 2

Vamos começar mexendo no numerador, fazendo a subtração,

1 x + h 2 - 1 x 2 = x 2 - x + h 2 x 2 x + h 2

Abrindo o nosso x + h 2 , ficamos com

x 2 - x + h 2 x 2 x + h 2 = x 2 - ( x 2 + 2 x h + h 2 ) x 2 x + h 2 = - ( 2 x h + h 2 ) x 2 x + h 2

Agora vamos substituir no nosso limite,

lim h → 0 ⁡ 1 x + h 2 - 1 x 2 h = lim h → 0 ⁡ - ( 2 x h + h 2 ) x 2 x + h 2 h = lim h → 0 ⁡ - ( 2 x h + h 2 ) h x 2 x + h 2

Repara que podemos colocar o h em evidencia

= lim h → 0 ⁡ - h ( 2 x + h ) h x 2 x + h 2

Simplificando,

= lim h → 0 ⁡ - - ( 2 x + h ) x 2 x + h 2

Calculando novamente o limite, ficamos com:

= lim h → 0 ⁡ - - ( 2 x + 0 ) x 2 x + 0 2 = - 2 x x 4 = - 2 x 3

Lembra que falamos que neste caso podemos considerar x uma constante? Então, chegamos na resposta final!

Resposta

- 2 x 3

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Existe um número a tal que lim x → - 2 ⁡ 3 x 2 + a x + a + 3 x 2 + x - 2 exista? Caso afirmativo, encontre a e o valor do limite.
Calcule o limite, se existir. lim h → 0 ⁡ ( 3 + h ) - 1 - 3 - 1 h
Calcule o limite, se existir. lim x → 1 ⁡ x 3 - 1 x 2 - 1
Determine o limite infinito.underset(x - pi^-)(lim) cot x
Calcule o limite, se existir. 12 . lim x → - 4 ⁡ x 2 + 5 x + 4 x 2 + 3 x - 4