1. Calcule o limite, se existir

m. lim h → 0 ⁡ x + h 3 - x 3 h

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Aqui nós temos um limite para resolver,

lim h → 0 ⁡ x + h 3 - x 3 h

Ele parece ser complicado, pois temos aparentemente temos duas variáveis x e h . Mas repara que só h → 0 , ou seja, podemos tratar x como uma constante neste caso.

A gente sempre começa substituindo o valor na função, fica assim:

lim h → 0 ⁡ x + h 3 - x 3 h = x + 0 3 - x 3 0 = x 3 - x 3 0 = 0 0

Opaaaa, caímos em uma indeterminação do tipo 0 0 .

Então bora sair dessa!

Passo 2

Vamos começar fazendo a distributiva do x + h 3 . Fica assim:

x + h 3 = x 3 + 3 h x 2 + 3 x h 2 + h 3

Agora vamos substituir no nosso limite,

lim h → 0 ⁡ x + h 3 - x 3 h = lim h → 0 ⁡ ( x 3 + 3 h x 2 + 3 x h 2 + h 3 ) - x 3 h

= lim h → 0 ⁡ 3 h x 2 + 3 x h 2 + h 3 h

Repara que podemos colocar o h em evidencia

= lim h → 0 ⁡ h 3 x 2 + 3 x h + h 2 h

Simplificando,

= lim h → 0 ⁡ 3 x 2 + 3 x h + h 2

Calculando,

lim h → 0 ⁡ 3 x 2 + 3 x h + h 2 = 3 x 2 + 3 x 0 + 0 2 3 x 2 = 3 x 2

Lembra que falamos que neste caso podemos considerar x uma constante? Então, chegamos na resposta final!

Resposta

3 x 2

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