4. Calcule o limite lim t → 0 ⁡ r t , onde

r t = t g t t i → + s e n t t j → + e t - 1 t k →

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está tendo um pouco de dificuldades nessa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

Nesse problema, queremos obter o limite de r t para t tendendo a 0 .

Parece simples, né? 😁

A função vetorial paramétrica é dada por r t = t g t t i → + s e n t t j → + e t - 1 t k →

Assim, o limite dessa função é dado por

lim t → 0 ⁡ t g t t i → + s e n t t j → + e t - 1 t k →

Ou seja

lim t → 0 ⁡ t g t t i → + s e n t t j → + e t - 1 t k → = lim t → 0 ⁡ t g t t i → + lim t → 0 ⁡ s e n t t j → + lim t → 0 ⁡ e t - 1 t k →

Sacou? Bora começar! 👀

Passo 2

Primeiro vamos obter o limite de t g t t .

Se aplicarmos o método de substituição agora, vamos cair em uma indeterminação 0 / 0 , então vamos aplicar a regra de L ' H o p i t a l .

Esse método consiste em derivar o numerador e o denominador da função, ou seja

lim t → 0 ⁡ t g t t i → = lim t → 0 ⁡ d t g t t d t d t i →

Pelo teorema fundamental do cálculo, a derivada de t g t é dada por

d t g t t = s e c 2 t

Já pelo método de derivação polinomial, a derivada de t é

d t d t = 1

Substituindo no limite...

lim t → 0 ⁡ t g t t i → = lim t → 0 ⁡ s e c 2 t 1 i → = 1 1 i →

lim t → 0 ⁡ t g t t i → = 1 i →

Tranquilo até aqui? 😁

Passo 3

Agora vamos fazer o mesmo para o limite de s e n t t .

Novamente caímos em uma indeterminação 0 0 , então vamos aplicar a regra de L ' H o p i t a l novamente.

lim t → 0 ⁡ s e n t t j → = lim t → 0 ⁡ d s e n t d t d t d t j →

Pelo teorema fundamental do cálculo, temos

d s e n t d t = cos ⁡ t

E pelo que já vimos anteriormente

d t d t = 1

Substituindo no limite...

lim t → 0 ⁡ s e n t t j → = lim t → 0 ⁡ cos ⁡ t 1 j → = 1 1 j →

lim t → 0 ⁡ s e n t t j → = 1 j →

Legal, né? 😊

Passo 4

Por último vamos obter o limite de e t - 1 t .

E mais uma vez vamos aplicar a regra de L ' H o p i t a l ...

lim t → 0 ⁡ e t - 1 t k → = lim t → 0 ⁡ d e t - 1 d t d t d t k →

Pelo teorema fundamental do cálculo, temos

d e t - 1 d t = e t

d t d t = 1

Substituindo no limite...

lim t → 0 ⁡ e t - 1 t k → = lim t → 0 ⁡ e t 1 k → = 1 1 k →

lim t → 0 ⁡ e t - 1 t k → = 1 k →

Por fim, montamos o resultado somando esses limites

lim t → 0 ⁡ t g t t i → + s e n t t j → + e t - 1 t k → = 1 i → + 1 j → + 1 k →

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

lim t → 0 ⁡ t g t t i → + s e n t t j → + e t - 1 t k → = 1 i → + 1 j → + 1 k →

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