Calcule os limites abaixo

b )   lim x → 5 - ⁡ 25 - x 2 5 - x

Passo 1

Fala galera, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas estou aqui para te ajudar! Vamos resolver juntos?

Precisamos avaliar o limite dessa função aqui

lim x → 5 - ⁡ 25 - x 2 5 - x

Quando x se aproxima de - 5 , mas por valores MENORES do que - 5 , ou seja, - 5 , 01 ;   - 5 , 001 … etc

E se você notar temos que quando x se aproxima de - 5 tanto o numerador quanto o denominador vão para zero: isso significa que temos uma indeterminação!

E para sair de indeterminações do tipo raiz, precisamos racionalizar! Isso mesmo, vamos racionalizar o numerador e avaliar novamente o limite!

#alertatruquesujo

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Vamos começar?

Passo 2

O limite que vamos analisar é esse aqui

lim x → 5 - ⁡ 25 - x 2 5 - x

E como comentei ali em cima, vamos racionalizar o numerador: multiplicar em cima e embaixo pela mesma raiz. O objetivo é manipular essa função até que a indeterminação seja levantada

25 - x 2 5 - x × 25 - x 2 25 - x 2 = 25 - x 2 2 ( 5 - x ) 25 - x 2

Sacou?

Com isso nos livramos daquela raiz em cima!

25 - x 2 5 - x = 25 - x 2     ( 5 - x ) 25 - x 2

E agora? Agora vamos abrir o numerador na diferença de dois quadrados 25 - x 2 = ( 5 - x ) ( 5 + x ) :

25 - x 2     ( 5 - x ) 25 - x 2 = ( 5 - x ) ( 5 + x )     ( 5 - x ) 25 - x 2 = 5 + x 25 - x 2

Assim nossa indeterminação saiu do numerador! Ficou apenas no denominador! Bora avaliar esse limite de novo?

Passo 3

Vamos agora analisar novamente nosso limite, que era assim

lim x → 5 - ⁡ 25 - x 2 5 - x

E agora está assim:

lim x → 5 - ⁡ 5 + x 25 - x 2

Quando x tende a - 5 pela esquerda o denominador

25 - x 2

É positivo, pois embora x seja negativo, ao quadrado fica positivo. E fica bem próximo de zero, então

25 - x 2 > 0

Tudo bem até aqui?

Agora vamos jogar esse resultado no limite e avaliar novamente:

lim x → 5 - ⁡ 5 + x 25 - x 2 = 10 0 + = + ∞

Então nosso limite vai para + ∞ !

E é isso!

Espero ter ajudado! Até a próxima!

Resposta

+ ∞

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Determine o limite infinito.underset(x - pi^-)(lim) cot x
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