Calcule os limites abaixo:

c) lim x → 0 ⁡ tan ⁡ ( 3 x ) tan ⁡ ( 5 x )

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular o limite da função f x = tan ⁡ ( 3 x ) tan ⁡ ( 5 x ) quando x se aproxima de 0 .

Pra calcular esse limite, o que nós vamos fazer é manipular a nossa função para que ela tenha o mesmo formato de um limite que nós conseguimos resolver por substituição direta ou com a cara de um limite fundamental que nós conhecemos o resultado.

Vamos lá!

Passo 2

Da identidade trigonométrica tan ⁡ x = sin ⁡ x cos ⁡ x , temos:

lim x → 0 ⁡ tan ⁡ ( 3 x ) tan ⁡ ( 5 x ) = lim x → 0 ⁡ sin ⁡ 3 x cos ⁡ 3 x ∙ cos ⁡ 5 x sin ⁡ 5 x

Nós podemos agora multiplicar a função por 3 x 3 x e por 5 x 5 x que não altera nada. Então, teremos:

lim x → 0 ⁡ sin ⁡ 3 x cos ⁡ 3 x ∙ 3 x 3 x ∙ cos ⁡ 5 x sin ⁡ 5 x ∙ 5 x 5 x

lim x → 0 ⁡ sin ⁡ 3 x 3 x ∙ 1 cos ⁡ 3 x ∙ cos ⁡ 5 x ∙ 5 x sin ⁡ 5 x ∙ 3 x 5 x

Pela propriedade dos limite, o limite de um produto é o produto dos limites. Logo:

lim x → 0 ⁡ sin ⁡ 3 x 3 x ∙ lim x → 0 ⁡ 1 cos ⁡ 3 x ∙ lim x → 0 ⁡ cos ⁡ 5 x ∙ lim x → 0 ⁡ 5 x sin ⁡ 5 x ∙ 3 5

Agora repare que fazendo 3 x = u no primeiro limite, temos o limite fundamental:

lim u → 0 ⁡ sin ⁡ u u = 1

E em lim x → 0 ⁡ 5 x sin ⁡ 5 x , nós podemos escrever:

lim x → 0 ⁡ 5 x sin ⁡ 5 x = lim x → 0 ⁡ 1 sin ⁡ 5 x 5 x

E lim x → 0 ⁡ sin ⁡ 5 x 5 x também é igual a 1 , porque é um limite fundamental. Então, vamos ter:

lim x → 0 ⁡ sin ⁡ 3 x 3 x ∙ lim x → 0 ⁡ 1 cos ⁡ 3 x ∙ lim x → 0 ⁡ cos ⁡ 5 x ∙ lim x → 0 ⁡ 1 sin ⁡ 5 x 5 x ∙ 3 5

= 1 ∙ 1 cos ⁡ 0 ∙ cos ⁡ 0 ∙ 1 1 ∙ 3 5

Como cos ⁡ 0 = 1 , temos:

= 3 5

Prontinho, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

lim x → 0 ⁡ tan ⁡ ( 3 x ) tan ⁡ ( 5 x ) = 3 5

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