Calcule os limites abaixo (sem usar L’Hopital).

b ) lim x - 5 - ⁡ x 2 - 25 x 2 - 10 x + 25

Passo 1

E aí pessoal, como vocês estão?

Nessa questão precisamos resolver o seguinte limite quando x se aproxima de 5 pela esquerda (ou seja, por valores menores do que 5 ):

lim x - 5 - ⁡ x 2 - 25 x 2 - 10 x + 25

Mas, ainda que satisfaça as condições da regra de L’hopital, não poderemos usá-la nesse problema, beleza?

Bom, seguindo a primeira etapa de qualquer limite, sempre começamos substituindo o valor que x está tendendo pra ver se já matamos o limite ou se caímos em alguma indeterminação.

Assim:

lim x - 5 - ⁡ x 2 - 25 x 2 - 10 x + 25 = 5 2 - 25 5 2 - 10 ⋅ 5 + 25 = 0 0

Puts, temos uma indeterminação matemática: 0 / 0 .

Sendo assim, precisamos remover essa indeterminação do nosso limite pra conseguir calculá-lo. Como temos uma função dentro do limite que é a razão de dois polinômios, a ideia geral nesse tipo de caso é tentar fatorar os polinômios até que os fatores responsáveis pela indeterminação se cancelem.

Vem comigo que isso vai ficar bem clarinho 😉

Passo 2

Bom, queremos remover a indeterminação através da fatoração do polinômio no numerador e no denominador.

Vamos começar pelo numerador, temos:

x 2 - 25

Lembram do produto notável da diferença de quadrados?

a 2 - b 2 = a + b a - b

Podemos usá-la pra fatorar a nossa expressão:

x 2 - 25 = ( x + 5 ) ( x - 5 )

Muito bom!

Vamos agora para o denominador! Temos:

x 2 - 10 x + 25

Uma das raízes é x = 5 , pois vimos no passo 1 que ao substituir x = 5 no denominador ele zera.

Além disso, como o produto das raízes precisa valer o termo independente do polinômio do 2 ° grau, temos que:

5 ⋅ x 2 = 25

∴ x 2 = 5

Ou seja, x = 5 é uma raiz dupla e podemos decompor o nosso polinômio como:

x 2 - 10 x + 25 = x - 5 2

Substituindo essas dentro da nossa função do limite, temos:

x 2 - 25 x 2 - 10 x + 25 = x - 5 x + 5 x - 5 2

= x + 5 x - 5

Colocando x em evidência tanto no numerador como no denominador, temos:

x + 5 x - 5 = x 1 + 5 x x 1 - 5 x

= 1 + 5 x 1 - 5 x

Massa! Podemos substituir essa expressão lá no nosso limite. Teremos:

lim x - 5 - ⁡ x 2 - 25 x 2 - 10 x + 25 = lim x → 5 - ⁡ 1 + 5 x 1 - 5 x

Substituindo o valor que x está tendendo, teremos:

lim x → 5 - ⁡ 1 + 5 x 1 - 5 x = 1 + 5 5 1 - 5 5

Ou seja, o nosso denominador tende a 0 , e como ele se aproxima por números menores do que 5 , a subtração 1 - 5 x → 0 - , ou seja, tende a 0 por números negativos. E, o numerador vale 2 .

Assim, temos uma constante sendo dividida por um número negativo que se aproxima cada vez mais de 0 .

O resultado disso é - ∞ . Portanto:

lim x - 5 - ⁡ x 2 - 25 x 2 - 10 x + 25 = - ∞

Prontinho!! Curtiram a solução? Responde Aí!

Resposta

- ∞

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Existe um número a tal que lim x → - 2 ⁡ 3 x 2 + a x + a + 3 x 2 + x - 2 exista? Caso afirmativo, encontre a e o valor do limite.
Calcule o limite, se existir. lim h → 0 ⁡ ( 3 + h ) - 1 - 3 - 1 h
Calcule o limite, se existir. lim x → 1 ⁡ x 3 - 1 x 2 - 1
Determine o limite infinito.underset(x - pi^-)(lim) cot x
Calcule o limite, se existir. 12 . lim x → - 4 ⁡ x 2 + 5 x + 4 x 2 + 3 x - 4