Calcule os limites abaixo (sem usar L’Hopital).

c ) lim x → 0 ⁡ x 8 ⋅ cos ⁡ 1 x 2

Passo 1

Faaaaaala gente bonita do Responde Aí, como vocês estão?

Nessa questão precisamos calcular o seguinte limite:

lim x → 0 ⁡ x 8 ⋅ cos ⁡ 1 x 2

Mas, mesmo que satisfaça as condições da regra de L’hopital, não poderemos utilizá-la beleza?

Então, como sempre começamos substituindo o valor que x está tendendo dentro da nossa função. Assim, vemos se já conseguimos determinar o valor do limite ou se temos alguma indeterminação.

lim x → 0 ⁡ x 8 ⋅ cos ⁡ 1 x 2 = 0 8 ⋅ cos ⁡ 1 0 2

Puts, dentro do argumento do cosseno estamos dividindo por zero, mas qual é o 13 ° mandamento?

“Nunca dividirás por zero!!”

Portanto, isso se caracteriza como uma indeterminação, e precisamos pensar como calcular esse limite mesmo sem saber o valor do argumento da função trigonométrica.

Uma ideia interessante é utilizarmos uma consequência do teorema do confronto, que diz que:

Se:

g x ≤ f x ≤ h ( x )

Então:

lim x → x 0 ⁡ g ( x ) ≤ lim x - x 0 ⁡ f x ≤ lim x - x 0 ⁡ h ( x )

Massa! Vem comigo que vamos entender melhor essa ideia!

Passo 2

Bom, pessoal, a função que estamos querendo calcular o limite pode ser dada por:

f x = x 8 ⋅ cos ⁡ 1 x 2

Mas, vocês lembram que a função cosseno é limitada entre - 1 e 1 . Ou seja, independente do ângulo no seu argumento, o menor valor que ela assume é - 1 e o maior é 1 .

Assim, podemos dizer que:

- 1 ≤ cos ⁡ 1 x 2 ≤ 1

Daí, multiplicando por x 8 em todos os lados da desigualdade (e, como x 8 é sempre positivo, pois o expoente é par, o sentido da desigualdade não se inverte nessa multiplicação), temos:

- x 8 ≤ x 8 ⋅ cos ⁡ 1 x 2 ≤ x 8

Massa! Então agora temos uma desigualdade com nossa função de interesse, e pelo teorema do confronto podemos aplicar o limite em todos os lados.

Assim:

lim x → 0 ⁡ - x 8 ≤ lim x → 0 ⁡ x 8 ⋅ cos ⁡ 1 x 2 ≤ lim x → 0 ⁡ x 8

Muito bom!

Passo 3

Chegamos que:

lim x → 0 ⁡ - x 8 ≤ lim x → 0 ⁡ x 8 ⋅ cos ⁡ 1 x 2 ≤ lim x → 0 ��� x 8

Vamos calcular os limites das extremidades dessa desigualdade!

Temos:

lim x → 0 ⁡ - x 8 = 0

E:

lim x → 0 ⁡ x 8 = 0

Assim, podemos reescrever a desigualdade como:

0 ≤ lim x → 0 ⁡ x 8 ⋅ cos ⁡ 1 x 2 ≤ 0

Loogooo, qual a conclusão que chegamos??

Isso aí:

lim x → 0 ⁡ x 8 ⋅ c o s 1 x 2 = 0

Aeeee! Conseguimos gente!

Curtiram a solução? Responde Aí 😉

Resposta

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