Calcule os limites abaixo (sem usar a Regra de L’Hospital)

c )   lim x → 2 ⁡ f ( x )

Onde

2 - x - 2 3 ≤ f x ≤ 2 + x - 2 2

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos começar?

O problema começa nos dando essa desigualdade

2 - x - 2 3 ≤ f x ≤ 2 + x - 2 2

E pede para calcularmos esse limite aqui

lim x → 2 ⁡ f ( x )

Pergunta de milhões: Como achar esse limite?

Percebemos que nossa função está no centro de uma desigualdade, então só com isso você pode sentir o cheiro do Teorema do Confronto

Esse teorema nos diz que quando temos uma desigualdade

g ( x ) ≤ f x ≤ h ( x )

E se os limites das pontas forem para o mesmo valor

lim x → x 0 ⁡ g ( x ) = lim x → x 0 ⁡ h ( x ) = c

Então podemos afirmar que o limite da função que está no centro tem o mesmo valor

lim x → x 0 ⁡ f ( x ) = c

Belê?

Então é isso que vamos fazer! É o famoso sanduichar a função com os limites!

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Queremos saber o limite de f ( x ) quando x → 2 , então vamos pegar a função

2 - x - 2 3 ≤ f x ≤ 2 + x - 2 2

E aplicar em todos os termos dessa desigualdade o limite

lim x → 2 ⁡ 2 - x - 2 2 ≤ lim x → 2 ⁡ f x ≤ lim x → 2 ⁡ 2 + x - 2 2

Beleza?

Agora nossa missão é resolver esses limites!

Passo 3

Substituindo x por 2 nas pontas temos

lim x → 2 ⁡ 2 - x - 2 3 ≤ lim x → 2 ⁡ f x ≤ lim x → 2 ⁡ 2 + x - 2 2

lim x → 2 ⁡ 2 - 2 - 2 3 ≤ lim x → 2 ⁡ f x ≤ lim x → 2 ⁡ 2 + 2 - 2 2

lim x → 2 ⁡ 2 - 0 3 ⏝ → 2 ≤ lim x → 2 ⁡ f x ≤ lim x → 2 ⁡ 2 + 0 2 ⏝ → 2

Como os extremos convergem para 2 , assim temos que

lim x → 2 ⁡ f x = 2

Beleza? Espero ter ajudado!

Até a próxima!

Resposta

lim x → 2 ⁡ f x = 2

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