Calcule os limites

d )   lim x → 0 ⁡ log ⁡ ( 1 + x ) - x + x 2 2 x 3

Passo 1

Oi, tudo bem? Essa questão parece inocente, mas quanto mais você pensa, mais ela fica estranha!

Precisamos resolver esse limite

lim x → 0 ⁡ log ⁡ ( 1 + x ) - x + x 2 2 x 3

Substituindo o x por 0 encontramos uma indeterminação do tipo

log ⁡ 1 - 0 + 0 0 3 = 0 0

E agora?

Precisamos lembrar do teorema de L’hopital! Ele nos diz que o limite da razão entre duas funções é igual ao limite da derivada dessas funções!

E esse aqui é o pulo do gato!

Aí temos

lim x → x 0 ⁡ f ( x ) g ( x ) = lim x → x 0 ⁡ f x ' g x '

E aí é só avaliar novamente o limite! Caso encontre outra indeterminação (não é incomum viu?) é só derivar de novo! Vai repetindo o processo até sair da indeterminação!

Mas calma! Vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Vamos começar derivando em cima e embaixo e avaliar no novo limite

lim x → 0 ⁡ log ⁡ ( 1 + x ) - x + x 2 2 x 3 = lim x → 0 ⁡ 1 1 + x - 1 + x 3 x 2 = 1 - 1 3 . 0

= 0 0

Tranquilo até aqui?

Temos novamente a indeterminação, bora derivar de novo!

Passo 3

Aplicando L’hopital de novo

lim x → 0 ⁡ 1 1 + x - 1 + x 3 x 2 = lim x → 0 ⁡ - 1 1 + x 2 + 1 6 x = 0 0

Bora derivar novamente!

lim x → 0 ⁡ 2 1 1 + x 3 6 = 2 6 = 1 3

Fugimos da indeterminação e achamos o valor do limite!

Espero ter ajudado! Até próxima!

Resposta

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Existe um número a tal que lim x → - 2 ⁡ 3 x 2 + a x + a + 3 x 2 + x - 2 exista? Caso afirmativo, encontre a e o valor do limite.
Calcule o limite, se existir. lim h → 0 ⁡ ( 3 + h ) - 1 - 3 - 1 h
Calcule o limite, se existir. lim x → 1 ⁡ x 3 - 1 x 2 - 1
Determine o limite infinito.underset(x - pi^-)(lim) cot x
Calcule o limite, se existir. 12 . lim x → - 4 ⁡ x 2 + 5 x + 4 x 2 + 3 x - 4