Calcule os seguintes limites:

l i m x → 4   2 - x x + 5 - 3

Passo 1

E aí galerinha, vamos destruir essa questão comigo? Vamos láaaa!

Temos a expressão 2 - x x + 5 - 3 , e queremos calcular o limite dessa expressão quando x se aproxima de 4. Matematicamente, escrevemos isso da seguinte forma:

l i m x → 4   2 - x x + 5 - 3

Passo 2

Para calcular o limite, substituímos o valor de x na expressão 2 - x x + 5 - 3 ) e avaliamos o resultado. Nesse caso, vamos substituir x por 4:

( 2   -   √ 4 )   /   ( √ ( 4   +   5 )   -   3 )   =   ( 2   -   2 )   /   ( √ 9   -   3 )   =   0   /   0

Aqui, temos uma indeterminação do tipo 0/0, o que significa que precisamos simplificar a expressão antes de avaliar o limite.

Vamos racionalizar o denominador multiplicando tanto o numerador quanto o denominador pelo conjugado do denominador, que é (√(x + 5) + 3):

( ( 2   -   √ x )   /   ( √ ( x   +   5 )   -   3 ) )   *   ( ( √ ( x   +   5 )   +   3 )   /   ( √ ( x   +   5 )   +   3 ) )

Vamos simplificar a expressão resultante:

( ( 2   -   √ x ) ( √ ( x   +   5 )   +   3 ) )   /   ( ( √ ( x   +   5 ) ) ²   -   3 ² )

( ( 2   -   √ x ) ( √ ( x   +   5 )   +   3 ) )   /   ( x   +   5   -   9 )

2   -   x x   +   5 +   3 x   -   4

Podemos cancelar o fator comum "(x - 4)" no numerador e no denominador:

( ( 2   -   √ x ) ( √ ( x   +   5 )   +   3 ) )   /   ( x   -   4 )

Agora podemos substituir o valor de x na expressão ( ( 2   -   √ x ) ( √ ( x   +   5 )   +   3 ) )   /   ( x   -   4 )

e avaliar o resultado. Nesse caso, vamos substituir x por 4:

( ( 2   -   √ 4 ) ( √ ( 4   +   5 )   +   3 ) )   /   ( 4   -   4 )

( ( 2   -   2 ) ( √ 9   +   3 ) )   /   0

( 0 ) ( 6 )   /   0   =   0

Passo 3

Após simplificar a expressão e substituir o valor de x, chegamos ao resultado:

l i m x → 4   2 - x x + 5 - 3 = 0

Portanto, o limite de ( 2 - x x + 5 - 3 ) conforme x se aproxima de 4 é igual a 0. Isso significa que, à medida que x se aproxima de 4, a 2 - x x + 5 - 3 se aproxima de 0.

Resposta

0

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