Calcule os seguintes limites, caso existam (identifique a indeterminação):

b) lim x → 0 ⁡ 2 x arctan ⁡ ( x ) - ln ⁡ ( x 2 + 1 ) x 2

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado pediu pra gente calcular o valor da função f x = 2 x arctan ⁡ ( x ) - ln ⁡ ( x 2 + 1 ) x 2 quando o valor de x se aproxima muito de zero.

Repare que apenas substituindo zero no lugar de x , nós teríamos:

2 ( 0 ) arctan ⁡ ( 0 ) - ln ⁡ ( ( 0 ) 2 + 1 ) ( 0 ) 2 = 0 - ln ⁡ 1 0 = 0 0

Assim, temos uma indeterminação. Então, vamos manipular um pouquinho nossa função pra sair da indeterminação e conseguir calcular o limite.

Vamos lá!

Passo 2

Temos:

lim x → 0 ⁡ 2 x arctan ⁡ x - ln ⁡ x 2 + 1 x 2

A gente reescrever a função separando cada termo assim:

lim x → 0 ⁡ 2 x arctan ⁡ x x 2 - lim x → 0 ⁡ ln ⁡ x 2 + 1 x 2

Vamos resolver cada um separadamente. Primeiro:

lim x → 0 ⁡ 2 x arctan ⁡ x x 2 = 2 lim x → 0 ⁡ arctan ⁡ x x

Aqui a gente também tem uma indeterminação, então vamos usar L’Hospital pra nos ajudar:

2 lim x → 0 ⁡ 1 x 2 + 1 1

Aplicando o limite:

= 2 1 0 + 1 1 = 2

Passo 3

Agora para lim x → 0 ⁡ ln ⁡ x 2 + 1 x 2 vamos precisar também aplica L’Hospital:

lim x → 0 ⁡ 2 x x 2 + 1 2 x

Simplificando, temos:

lim x → 0 ⁡ 1 x 2 + 1

Aplicando o limite:

1 0 2 + 1 = 1

Agora podemos juntar tudo no nosso limite original:

lim x → 0 ⁡ 2 x arctan ⁡ x x 2 - lim x → 0 ⁡ ln ⁡ x 2 + 1 x 2 = 2 - 1

= 1

Prontinho, galera. Até a próxima! 😉

Resposta

lim x → 0 ⁡ 2 x arctan ⁡ ( x ) - ln ⁡ ( x 2 + 1 ) x 2 = 1

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