Calcule os seguintes limites:

a) lim x → 0 ⁡ tan ⁡ ( x ) + x 2 sin ⁡ ( x ) + x

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado pediu pra gente calcular o valor da função f x = tan ⁡ ( x ) + x 2 sin ⁡ ( x ) + x quando o valor de x se aproxima de zero.

Repare que apenas substituindo zero no lugar de x , nós teríamos uma indeterminação 0 0 . Então, vamos manipular um pouquinho nossa função pra sair da indeterminação e conseguir substituir o valor do limite.

Vamos lá!

Passo 2

Temos:

lim x → 0 ⁡ tan ⁡ x + x 2 sin ⁡ x + x

Vamos começar dividindo todo mundo por x :

lim x → 0 ⁡ tan ⁡ x x + x 2 x sin ⁡ x x + x x

Simplificando, temos:

lim x → 0 ⁡ tan ⁡ x x + x sin ⁡ x x + 1

A gente sabe que o limite do quociente é igual ao quociente dos limites, então podemos escrever:

l i m x → 0 tan ⁡ x x + x l i m x → 0 sin ⁡ x x + 1

E a gente pode dividir os limites da soma também:

l i m x → 0 tan ⁡ x x + l i m x → 0 x l i m x → 0 sin ⁡ x x + l i m x → 0 1

Agora vamos analisar cada limite. Em l i m x → 0 x , podemos apenas substituir o valor, porque não temos indeterminação, então temos l i m x → 0 x = 0 . A gente também sabe que o limite de uma constante é a própria constante, então l i m x → 0 1 = 1 . Só nos restam os mais complicadinhos:

l i m x → 0 tan ⁡ x x

l i m x → 0 sin ⁡ x x

Mas a gente pode usar a regra de L’Hospital pra sair dessas indeterminações. Derivando o numerador e o denominador separadamente, temos:

l i m x → 0 tan ⁡ x x = l i m x → 0 sec 2 ⁡ ( x ) 1 = sec 2 ⁡ ( 0 ) 1 = 1

E

l i m x → 0 sin ⁡ x x = l i m x → 0 cos ⁡ x 1 = cos ⁡ 0 1 = 1

Substituindo lá no nosso limite original:

l i m x → 0 tan ⁡ x x + l i m x → 0 x l i m x → 0 sin ⁡ x x + l i m x → 0 1 = 1 + 0 1 + 1 = 1 2

E encontramos nosso limite. Até a próxima! 😉

Resposta

lim x → 0 ⁡ tan ⁡ ( x ) + x 2 sin ⁡ ( x ) + x = 1 2

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Calcule o limite, se existir. lim x → 1 ⁡ x 3 - 1 x 2 - 1
Determine o limite infinito.underset(x - pi^-)(lim) cot x
Calcule o limite, se existir. 12 . lim x → - 4 ⁡ x 2 + 5 x + 4 x 2 + 3 x - 4