2. Calcule os seguintes limites (NÃO é permitido o uso da regra de L’Hospital):

a. lim x → 2 ⁡ x 2 - 3 x + 2 x 3 - 3 x - 2

Passo 1

Fala meus chuchuzinhos da UFPE, bora matar essa questão de Cálculo 1?

Questão envolvendo o cálculo de limite em uma divisão de polinômios. Primeira coisa que a gente deve fazer é colocar o valor do limite e ver se dá um valor ou se cai numa indeterminação:

2 2 - 3 2 + 2 2 3 - 3 2 - 2 = 0 0

Caímos em uma indeterminação do tipo 0 / 0 .

Precisamos portanto reescrever o polinômio de cima e o de baixo para ver se conseguimos anular algum termo afim de sairmos dessa indeterminação.

Como o valor x = 2 zerou ambos os polinômios, uma boa opção será dividir o polinômio de cima e o de baixo por x = 2 e então reescreve-los, vamos fazer isso no passo 2.

Passo 2

Bom, nosso polinômio do numerador é

x 2 - 3 x + 2

Que é um polinômio de segundo grau, portanto, podemos utilizar Bhaskara e reescreve-lo da seguinte forma:

x 2 - 3 x + 2 = a x - x 1 x - x 2

Onde a é o mesmo a da fórmula de Bhaskara, ou seja, o valor que acompanha x 2 que nesse caso é a = 1 .

x 1 e x 2 são as raízes desse polinômio que vamos encontrar usando Bhaskara:

Δ = - 3 2 - 4 1 2 = 9 - 8 = 1

x = - - 3 ± 1 2 1 = 3 ± 1 2

x 1 = 4 2 = 2     e   x 2 = 2 2 = 1

Portanto o polinômio de cima pode ser reescrito como:

x 2 - 3 x + 2 = ( x - 2 ) ( x - 1 )

Vamos agora reescrever o de baixo que é um polinômio de terceiro grau e não vamos poder usar Bhaskara

Passo 3

O polinômio do denominador é:

x 3 - 3 x - 2

Vamos dividir esse polinômio por x - 2 , que é um bom chute para ser uma das raízes desse polinômio, além disso, poderemos anular x - 2 que aparecerá em baixo com o x - 2 que apareceu em cima.

Fazendo a divisão de polinômios teremos:

Portanto, podemos reescrever o polinômio do denominador da seguinte forma:

x 3 - 3 x - 2 = x 2 + 2 x + 1 x - 2

Passo 4

Agora a gente vai substituir o que encontramos nos Passos 2 e 3 na nossa fração:

lim x → 2 ⁡ x 2 - 3 x + 2 x 3 - 3 x - 2 = lim x → 2 ⁡ ( x - 2 ) ( x - 1 ) x 2 + 2 x + 1 x - 2

E como temos x - 2 em cima e embaixo, podemos corta-lo:

lim x → 2 ⁡ ( x - 1 ) x 2 + 2 x + 1

Esse processo deve ter sido suficiente para sumir com a nossa indeterminação, agora é só substituir o valor do limite e ver se chegamos em algum resultado:

lim x → 2 ⁡ ( x - 1 ) x 2 + 2 x + 1 = 2 - 1 2 2 + 2 2 + 1 = 1 9

E chegamos na nossa resposta!

Resposta

lim x → 2 ⁡ x 2 - 3 x + 2 x 3 - 3 x - 2 = 1 9

Exercícios de Livros Relacionados

Existe um número a tal que lim x → - 2 ⁡ 3 x 2 + a x + a + 3 x 2 + x - 2 exista? Caso afirmativo, encontre a e o valor do limite.
Calcule o limite, se existir. lim h → 0 ⁡ ( 3 + h ) - 1 - 3 - 1 h
Calcule o limite, se existir. lim x → 1 ⁡ x 3 - 1 x 2 - 1
Determine o limite infinito.underset(x - pi^-)(lim) cot x
Calcule o limite, se existir. 12 . lim x → - 4 ⁡ x 2 + 5 x + 4 x 2 + 3 x - 4