3. Calcule os seguintes limites (Não pode usar a regra de L ’ H ô s p i t a l ):

c) lim t → 0 ⁡ 1 - cos ⁡ 2 t 3 t

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está um pouco complicada? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Nesse problema, estamos interessados em calcular alguns limites, porém a única regra é que não podemos usar a regra de L ' H o p i t a l .

Entendeu?

A regra de L ' H o p i t a l nos ajuda muito quando temos uma indeterminação como resultado de um limite pelo método da substituição.

Porém existem alguns outros métodos que podemos aplicar a algumas analises matemáticas, com isso, vamos ter que analisar cada caso separadamente para ver qual é a melhor maneira de resolver o problema.

Sacou? Bora lá! 😁

Passo 2

O limite que temos que calcular é

lim t → 0 ⁡ 1 - cos ⁡ 2 t 3 t

Antes de começarmos, vamos fazer uma mudança de variáveis para nos ajudar.

Fazendo 2 t = x , então 3 t = 3 2 x e x → 0

lim x → 0 ⁡ 1 - cos ⁡ x 3 2 x

lim x → 0 ⁡ 2 3 · 1 - cos ⁡ x x

Tirando 2 3 do limite...

2 3 · lim x → 0 ⁡ 1 - cos ⁡ x x

Se multiplicarmos o numerador e o denominador da fração pelo conjugado de 1 - cos ⁡ x , temos

1 - cos ⁡ x x · 1 + cos ⁡ x 1 + cos ⁡ x = 1 - c o s 2 x x 1 + cos ⁡ x

Pela relação fundamental da trigonometria, sabemos que 1 - c o s 2 x = s e n 2 x . Substituindo no limite, vamos obter

2 3 · lim x → 0 ⁡ s e n 2 x x 1 + cos ⁡ x

Podemos simplificar em dois limites...

2 3 · lim x → 0 ⁡ s e n x s e n x x 1 + cos ⁡ x → 2 3 · lim x → 0 ⁡ s e n x x · lim x → 0 ⁡ s e n x 1 + cos ⁡ x

Consegue visualizar alguma coisa de interessante? 🤔

Passo 3

O limite de s e n x x é bem famoso e já vimos que é igual a 1 para quando x tende a 0 .

Já pelo método de substituição, temos que o limite de s e n x 1 + cos ⁡ x é

lim x → 0 ⁡ s e n x 1 + cos ⁡ x = 0 2 = 0

Substituindo esses resultados no nosso problema, temos

lim t → 0 ⁡ 1 - cos ⁡ 2 t 3 t = 2 3 · lim x → 0 ⁡ s e n x x · lim x → 0 ⁡ s e n x 1 + cos ⁡ x

lim t → 0 ⁡ 1 - cos ⁡ 2 t 3 t = 2 3 · 1 · 0

lim t → 0 ⁡ 1 - cos ⁡ 2 t 3 t = 0

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

lim t → 0 ⁡ 1 - cos ⁡ 2 t 3 t = 0

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Calcule o limite, se existir. lim x → 1 ⁡ x 3 - 1 x 2 - 1
Determine o limite infinito.underset(x - pi^-)(lim) cot x
Calcule o limite, se existir. 12 . lim x → - 4 ⁡ x 2 + 5 x + 4 x 2 + 3 x - 4