3. Calcule os seguintes limites (Não pode usar a regra de L ’ H ô s p i t a l ):

e) lim z → 0 ⁡ c o s 7 z - 1 4 z 2

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nesse problema, estamos interessados em calcular alguns limites, porém a única regra é que não podemos usar a regra de L ' H o p i t a l .

Entendeu?

A regra de L ' H o p i t a l nos ajuda muito quando temos uma indeterminação como resultado de um limite pelo método da substituição.

Porém existem alguns outros métodos que podemos aplicar a algumas analises matemáticas, com isso, vamos ter que analisar cada caso separadamente para ver qual é a melhor maneira de resolver o problema.

Sacou? Bora lá! 😁

Passo 2

O limite que temos que calcular é

lim z → 0 ⁡ c o s 7 z - 1 4 z 2

Esse problema é muito parecido com um problema anterior. Primeiro vamos fazer uma mudança de variável para nos ajudar

Se chamarmos 7 z de x com x → 0

lim z → 0 ⁡ c o s 7 z - 1 4 z 2 = lim x → 0 ⁡ c o s x - 1 4 49 x 2 = lim x → 0 ⁡ 49 4 c o s x - 1 x 2

Tirando a constante do limite e multiplicando tudo pelo conjugado de cos ⁡ x - 1

lim z → 0 ⁡ c o s 7 z - 1 4 z 2 = 49 4 lim x → 0 ⁡ c o s x - 1 x 2 · cos ⁡ x + 1 cos ⁡ x + 1

lim z → 0 ⁡ c o s 7 z - 1 4 z 2 = 49 4 lim x → 0 ⁡ c o s 2 x - 1 x 2 cos ⁡ x + 1

Mas o que é c o s 2 x - 1 ? Pela relação fundamental trigonométrica s e n 2 x + c o s 2 x = 1 , então

lim z → 0 ⁡ c o s 7 z - 1 4 z 2 = 49 4 lim x → 0 ⁡ - s e n 2 x x 2 cos ⁡ x + 1

Reescrevendo s e n 2 x x 2 cos ⁡ x + 1 como s e n x x · s e n x x · - 1 cos ⁡ x + 1 , vamos separar em três limites

lim z → 0 ⁡ c o s 7 z - 1 4 z 2 = 49 4 lim x → 0 ⁡ s e n x x · lim x → 0 ⁡ s e n x x · lim x → 0 ⁡ - 1 cos ⁡ x + 1

Tranquilo até aqui? 😉

Passo 3

Já sabemos qual é o limite de s e n x x , não é? Já calculamos anteriormente e é um limite bastante famoso

lim x → 0 ⁡ s e n x x = 1

Já pelo método de substituição, temos que

lim x → 0 ⁡ - 1 cos ⁡ x + 1 = - 1 2

Substituindo esses resultados no nosso problema

lim z → 0 ⁡ c o s 7 z - 1 4 z 2 = 49 4 1 · 1 · - 1 2

lim z → 0 ⁡ c o s 7 z - 1 4 z 2 = - 49 8

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

lim z → 0 ⁡ c o s 7 z - 1 4 z 2 = - 49 8

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Calcule o limite, se existir. lim x → 1 ⁡ x 3 - 1 x 2 - 1
Determine o limite infinito.underset(x - pi^-)(lim) cot x
Calcule o limite, se existir. 12 . lim x → - 4 ⁡ x 2 + 5 x + 4 x 2 + 3 x - 4