Determine o valor de M , caso exista, de modo que a função f seja contínua na origem.

a )   f x , y = x 2 y x 4 + y 2   s e   x , y ≠ ( 0,0 ) M ,   s e   x , y = ( 0,0 )

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos começar?

O problema começa nos dando essa função definida por partes

f x , y = x 2 y x 4 + y 2   s e   x , y ≠ 0,0 M ,   s e   x , y = 0,0

E pediu para determinar o valor de M de modo que a função seja contínua! E agora, como fazer?

Uma função contínua em um ponto tem os seus limites todos retornando o mesmo valor! Então a ideia é calcular o limite da parte definida da função e se o limite existir e for um valor, esse valor deverá ser igual ao M !

Lembrando que a primeira coisa que você vai tentar é substituir os valores na função! Se você encontrar alguma indeterminação, aí tentamos outras técnicas, se não, é só substituir mesmo!

Bora substituir!

lim x , y → ( 0,0 ) ⁡ x 2 y x 4 + y 2 = 0 0 + 0 = 0 0

Opa! Encontramos uma indeterminação! Então precisamos usar alguma técnica!

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

A primeira é a dos múltiplos caminhos! Vamos supor que y = m x 2 , em que m é uma constante qualquer. Se o resultado independer de m , então o limite existe. Mas se depender de m então dizemos que o limite não existe, ok!

Bora começar!

lim x , y → ( 0,0 ) ⁡ x 2 y x 4 + y 2 = lim x , m y 2 → 0,0 ⁡ x 4 m x 4 ( 1 + m 2 )

= m ( 1 + m 2 ) lim x , m y 2 → 0,0 ⁡ 1 = m ( 1 + m 2 )

Temos que o limite depende de m , sendo assim esse limite NÃO existe

Isso significa que a função não é contínua na origem!

Beleza? Espero ter ajudado!

Até a próxima!

Resposta

n ã o   é   c o n t í n u a

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Calcule o limite, se existir. lim x → 1 ⁡ x 3 - 1 x 2 - 1
Determine o limite infinito.underset(x - pi^-)(lim) cot x
Calcule o limite, se existir. 12 . lim x → - 4 ⁡ x 2 + 5 x + 4 x 2 + 3 x - 4