Identifique a forma indeterminada e, em seguida, calcule o limite, indicando o método utilizado:

c ) lim x → 0 ⁡ ln ⁡ x 2 + 1 x 2

Passo 1

Fala aí pessoal, tudo bem?

Nessa questão precisamos resolver o seguinte limite:

lim x → 0 ⁡ ln ⁡ x 2 + 1 x 2

O enunciado também nos pede para identificar a forma indeterminada e indicar o método utilizado.

Então vamos lá, o primeiro passo em qualquer questão de limite é substituir o valor que x está tendendo dentro da nossa função.

Assim, vamos ter:

lim x → 0 ⁡ ln ⁡ x 2 + 1 x 2 = ln ⁡ 0 2 + 1 0 2

= 0 0

Portanto, a nossa forma indeterminada é do tipo 0 / 0 .

O nosso objetivo aqui vai ser usar algum truque como fatoração, mudança de variável, racionalização, pra cair em um limite fundamental. Beleza?

Vamo nessa!

Passo 2

Olha, nós temos a seguinte expressão dentro do limite:

ln ⁡ x 2 + 1 x 2 = 1 x 2 ⋅ l n ⁡ ( x 2 + 1 )

Pela propriedade dos logaritmos, podemos escrever que:

1 x 2 ⋅ ln ⁡ x 2 + 1 = ln ⁡ x 2 + 1 1 x 2

Daí, podemos fazer uma mudança de variável bem legal agora:

u = 1 x 2

Fazendo isso, teremos que:

ln ⁡ x 2 + 1 1 x 2 = ln ⁡ 1 + 1 u u

Voltando para o limite, podemos escrever que:

lim x → 0 ⁡ ln ⁡ x 2 + 1 x 2 = lim u → ∞ ⁡ ln ⁡ 1 + 1 u u

Excelente! Daí, agora temos que ser bem truquentos (essa ideia de agora é bem legal de guardar na mente hein galera!)

lim u → ∞ ⁡ ln ⁡ 1 + 1 u u = L

∴ e L = e lim u → ∞ ⁡ ln ⁡ 1 + 1 u u

= lim u → ∞ ⁡ e ln ⁡ 1 + 1 u u

Logo:

e L = lim u → ∞ ⁡ 1 + 1 u u

Olha que legal! Esse limite da direita é justamente o limite fundamental, e temos que:

lim u → ∞ ⁡ 1 + 1 u u = e

Logo:

e L = e 1

Portanto, concluímos que o limite que queríamos calcular desde o começo vale:

L = 1

Aeee! Essas ideias são bem legais né?

Valeu pessoal, até a próxima 😊

Resposta

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