Identifique a forma indeterminada e, em seguida, calcule o limite, indicando o método utilizado:

a ) lim x → 1 ⁡ x 3 + x - 2 x 2 - 1

Passo 1

Fala aí galera, tudo beleza?

Nessa questão precisamos resolver o seguinte limite:

lim x → 1 ⁡ x 3 + x - 2 x 2 - 1

O enunciado também nos pede para identificar a forma indeterminada e indicar o método utilizado.

Então vamos lá, o primeiro passo em qualquer questão de limite é substituir o valor que x está tendendo dentro da nossa função. Assim, vamos ter:

lim x → 1 ⁡ x 3 + x - 2 x 2 - 1 = 1 3 + 1 - 2 1 2 - 1

= 0 0

Olha aí! Já encontramos a forma indeterminada! É do tipo 0 / 0 .

Agora, o nosso objetivo é usar algum método que nos permita resolver esse limite eliminando a indeterminação.

Vamo nessa!!

Passo 2

Como vimos no passo anterior, o nosso limite nos deu algo do tipo 0 / 0 . Sempre que isso acontece podemos usar a regra de L’hopital. Basicamente, se nós temos uma indeterminação do tipo 0 / 0 , essa regra nos diz que:

lim x → x 0 ⁡ f x g x = lim x → x 0 ⁡ f ' x g ' x  

Tranquilo?

Vamos aplicá-la!

lim x → 1 ⁡ x 3 + x - 2 x 2 - 1 = lim x → 1 ⁡ ( x 3 + x - 2 ) ' ( x 2 - 1 ) '

Vamos calcular essas derivadas!

Para fazer isso, basta lembrar da regrinha de derivação de polinômios:

d x n d x = n ⋅ x n - 1

Assim, teremos:

x 3 + x - 2 ' = 3 x 2 + 1

Já no denominador:

x 2 - 1 ' = 2 x

Voltando ao nosso limite, teremos:

lim x → 1 ⁡ ( x 3 + x - 2 ) ' ( x 2 - 1 ) ' = lim x → 1 ⁡ 3 x 2 + 1 2 x

Olha que legal! Removemos a indeterminação. Substituindo o valor que x está tendendo, teremos:

lim x → 1 ⁡ 3 x 2 + 1 2 x = 3 ⋅ 1 2 + 1 2 ⋅ 1

= 4 2 = 2

Ou seja:

lim x → 1 ⁡ x 3 + x - 2 x 2 - 1 = 2

Prontinho galera! Matamos a questão. O método que utilizamos foi a querida regra de L’hopital, beleza?

Valeu, até a próxima 😊

Resposta

2

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Existe um número a tal que lim x → - 2 ⁡ 3 x 2 + a x + a + 3 x 2 + x - 2 exista? Caso afirmativo, encontre a e o valor do limite.
Calcule o limite, se existir. lim h → 0 ⁡ ( 3 + h ) - 1 - 3 - 1 h
Calcule o limite, se existir. lim x → 1 ⁡ x 3 - 1 x 2 - 1
Determine o limite infinito.underset(x - pi^-)(lim) cot x
Calcule o limite, se existir. 12 . lim x → - 4 ⁡ x 2 + 5 x + 4 x 2 + 3 x - 4