Mostre, usando a definição de limite que lim x → x 0 ⁡ f ( x ) = 0 ⟺ lim x → x 0 ⁡ f x = 0

Passo 1

E ai meus amores, bora pra mais umazinha?

Para mostrar essa equivalência usando a definição de limite, precisamos usar a definição formal de limite e explorar as propriedades dos valores absolutos.

Vamos dividir essa prova em duas partes: a ida (mostrando que lim x → x 0 ⁡ f ( x ) = 0   implica lim x → x 0 ⁡ f x = 0 e a volta (mostrando que lim x → x 0 ⁡ f x = 0 implica lim x → x 0 ⁡ f ( x ) = 0 ) .

Parte 1: lim x → x 0 ⁡ f ( x ) = 0   implica lim x → x 0 ⁡ | f x | = 0

Suponhamos que lim x → x 0 ⁡ f ( x ) = 0 .

Queremos mostrar que isso implica lim x → x 0 ⁡ | f x | = 0

Usando a definição de limite, para qualquer ϵ > 0 , existe δ > 0 tal que, se 0 < x - x 0 < δ   então | f ( x )   -   0 |   =   | f ( x ) |   < ϵ .

Agora, vamos considerar o valor absoluto de   f ( x ) , ou seja, f x . Dado que f x ≥   0   , temos:

| | f ( x ) |   -   0 |   =   | f ( x ) |   < ϵ

Ou seja, se   0   <   x   –   x 0 < δ , então f x < ϵ , o que significa que lim x → x 0 ⁡ f x = 0

Passo 2

Parte 2: lim x → x 0 ⁡ f x = 0 implica lim x → x 0 ⁡ f x = 0

Agora, suponhamos que lim x → x 0 ⁡ f x = 0 .

Queremos mostrar que isso implica lim x → x 0 ⁡ f x = 0 .

Usando a definição de limite, para qualquer ϵ > 0 , existe δ > 0 tal que, se 0 < x - x 0 < δ   então | | f x |   -   0 |   =   | f ( x ) |   < ϵ .

Dado que f x ≥   0   ,   | f ( x ) |   < ϵ   implica   - ϵ   <   f ( x )   < ϵ .

Portanto, temos:

- ϵ   <   f ( x )   < ϵ

O que nos leva a:

- ϵ   <   | f ( x ) |   < ϵ

Isso significa que se   0   <   x   –   x 0 < δ , então f x < ϵ , o que implica que lim x → x 0 ⁡ f x = 0 .

Com isso, provamos a equivalência usando a definição de limite em ambas as direções.

A conclusão é que lim x → x 0 ⁡ f x = 0   se e somente se lim x → x 0 ⁡ f x = 0 .

Resposta

Vide o passo a passo.

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