Seja f : R → R tal que - x 2 + 3 x ≤ f x < x 2 - 1 x - 1 ,   para todo x ≠ 1 . Calcule f ( x )   e justifique.

Passo 1

Vem comigo, que no caminho eu explicoo

Para calcular o limite de f ( x ) quando x se aproxima de 1, primeiro deve tentar simplificar a expressão f ( x ) e, em seguida, aplicar o limite.

A função f ( x ) é definida da seguinte forma:

- x 2 + 3 x ≤ f x < x 2 - 1 x - 1 ,   p a r a   x ≠ 1

l i m   - x 2 + 3 x   ≤   l i m   f x < l i m   x 2 - 1 x - 1

Vamos calcular o limite da direita!

Passo 2

Isso se assemelha à forma indeterminada ( 0 / 0 ) quando x se aproxima de 1.

Vamos aplicar a regra de L'Hôpital para calcular esse limite:

x 2 - 1 x - 1  

d d x d 2 - 1 d d x ( x - 1 )   ⁡

A derivada de x 2 - 1   em relação a x   são 2x, e a derivada de x - 1 em relação a x   é 1.

Portanto, o limite se torna:

2 x 1 = 2  

Agora, podemos afirmar que:

- x 2   +   3 x ≤   f x <   2 ,     x ≠   1

Passo 3

Agora, considere o limite à esquerda:

=   - x 2 + 3 x  

Agora, podemos substituir x por 1 diretamente, pois não há indeterminação nessa expressão:

- x 2 + 3 x   = - 1 2 + 3 ⋅ 1 = 2

Agora, vamos calcular o limite à direita:

=   x 2 - 1 x - 1  

Neste caso, podemos aplicar diretamente o limite que calculamos anteriormente:

=   x 2 - 1 x - 1   = 2

Portanto, os limites à esquerda e à direita são iguais a 2:

=   f x   = 2

Passo 4

2   ≤   l i m   f x <   2

Como os limites superior e inferior são iguais, podemos concluir que o limite de f ( x ) quando x se aproxima de 1 é:

l i m   f x   = 2

Resposta

2

Exercícios de Livros Relacionados

Existe um número a tal que lim x → - 2 ⁡ 3 x 2 + a x + a + 3 x 2 + x - 2 exista? Caso afirmativo, encontre a e o valor do limite.
Calcule o limite, se existir. lim h → 0 ⁡ ( 3 + h ) - 1 - 3 - 1 h
Calcule o limite, se existir. lim x → 1 ⁡ x 3 - 1 x 2 - 1
Determine o limite infinito.underset(x - pi^-)(lim) cot x
Calcule o limite, se existir. 12 . lim x → - 4 ⁡ x 2 + 5 x + 4 x 2 + 3 x - 4