Sejam a ,   b números reais, tais que a função f definida por

f x = x 3 + a x + b ,         s e ≤ 2 3 x 2 - a x + 7 ,         s e   x > 2

Tem derivada em x = 2 . Assinale a alternativa correspondendo ao valor a + b .

Escolha uma:

a )   8

b )   9

c )   10

d )   6

e )   11

Passo 1

Falaaa, beleza?? Bora lá para mais um probleminha.

Nessa questão temos uma função definita por partes, dependendo de duas constantes: a e b .

Precisamos determinar a + b de modo que f possua derivada em x = 2 .

Que informações podemos tirar dessa derivada em x = 2 ?

Vale lembrar que se existe a derivada num ponto x qualquer, isso implica que f é contínua naquele ponto. Agora conseguiu enxergar o motivo de ser parecido com as duas primeiras?

Agora, o que faremos será lidar com o fato de f ser contínua em x = 2 . Bora relembrar alguns conceitos envolvendo isso.

De forma um pouco menos formal, dizemos que f é contínua   x = 2 .

lim x → 2 ⁡ f x = f ( 2 )

Além desse limite ser igual a f ( a ) , para o limite existir tem outra coisinha que deve rolar, consegue lembrar?

Para isso, precisamos que:

lim x → 2 - ⁡ f x = lim x → 2 + ⁡ f ( x ) = lim x → 2 ⁡ f ( x )

Passo 2

Bora aplicar esses conceitos no problema.

lim x → 2 - ⁡ f x = lim x → 2 + ⁡ f ( x )

Vamos tomar f x = x 3 + a x + b , quando x → 2 - e f x = 3 x 2 - a x + 7 , quando x → 2 + .

lim x → 2 - ⁡ x 3 + a x + b = lim x → 2 + ⁡ 3 x 2 - a x + 7

Ou seja:

8 + 2 a + b = 12 - 2 a + 7

E por isso, temos que 4 a + b = 11

Passo 3

Além disso, precisamos de mais uma coisa. Para que a derivada exista em x = 2 , precisamos que as derivadas à esquerda e à direita de x = 2 sejam iguais, também. Pois a inclinação da reta tangente à f à esquerda ou à direita, deve ser a mesma. Ou seja, vamos forçar que:

f ' x x → 2 - = f ' x x → 2 +

Ou seja:

f ' x x → 2 - = x 3 + a x + b ' = 3 x 2 + a

f ' x x → 2 + = 3 x 2 - a x + 7 ' = 6 x - a

Forçando a igualdade para x = 2 :

3 2 2 + a = 6 2 - a     ∴       a = 0

Colocando esse valor na primeira relação 4 a + b = 11 , temos que b = 11

E por isso, temos que a + b = 11 . Bora para a próxima questão??

Resposta

Letra E

Exercícios de Livros Relacionados

Existe um número a tal que lim x → - 2 ⁡ 3 x 2 + a x + a + 3 x 2 + x - 2 exista? Caso afirmativo, encontre a e o valor do limite.
Calcule o limite, se existir. lim h → 0 ⁡ ( 3 + h ) - 1 - 3 - 1 h
Calcule o limite, se existir. lim x → 1 ⁡ x 3 - 1 x 2 - 1
Determine o limite infinito.underset(x - pi^-)(lim) cot x
Calcule o limite, se existir. 12 . lim x → - 4 ⁡ x 2 + 5 x + 4 x 2 + 3 x - 4