Usando o limite fundamental dado pela igualdade

lim h → 0 ⁡ s e n   h h = 1

Calcule os seguintes limites:

d)

lim x → 0 ⁡ s e n   ( a x ) s e n   ( b x )

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos pede para determinarmos o seguinte limite:

lim x → 0 ⁡ s e n   ( a x ) s e n   ( b x )

No entanto, a questão nos pede para utilizar o seguinte limite fundamental para prosseguir com a solução do problema:

lim h → 0 ⁡ s e n   h h = 1

E aí? Vamos lá juntos?

Passo 2

Bom...vamos primeiramente expandir os termos do limite multiplicando por x x :

lim x → 0 ⁡ s e n   ( a x ) s e n   ( b x ) = lim x → 0 ⁡ s e n   a x x * x sen ⁡ b x ∴

lim x → 0 ⁡ s e n   ( a x ) s e n   ( b x ) = lim x → 0 ⁡ s e n   a x x * lim x → 0 ⁡ x sen ⁡ b x ∴

lim x → 0 ⁡ s e n   ( a x ) s e n   ( b x ) = lim x → 0 ⁡ s e n   a x x * lim x → 0 ⁡ sen ⁡ b x x - 1

Passo 3

Como vimos na letra b), temos que:

lim x → 0 ⁡ s e n   a x x = a ∴

Dessa forma, temos:

lim x → 0 ⁡ s e n   ( a x ) s e n   ( b x ) = a * b - 1 ∴

lim x → 0 ⁡ s e n   ( a x ) s e n   ( b x ) = a b

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

lim x → 0 ⁡ s e n   ( a x ) s e n   ( b x ) = a b

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Existe um número a tal que lim x → - 2 ⁡ 3 x 2 + a x + a + 3 x 2 + x - 2 exista? Caso afirmativo, encontre a e o valor do limite.
Calcule o limite, se existir. lim h → 0 ⁡ ( 3 + h ) - 1 - 3 - 1 h
Calcule o limite, se existir. lim x → 1 ⁡ x 3 - 1 x 2 - 1
Determine o limite infinito.underset(x - pi^-)(lim) cot x
Calcule o limite, se existir. 12 . lim x → - 4 ⁡ x 2 + 5 x + 4 x 2 + 3 x - 4