Sem utilizar a Regra de L’Hôpital, calcule os limites abaixo ou justifique caso eles não existam

a )   lim x → 2 ⁡ s e n 3 x - 6 x 2 - 5 x + 6

Passo 1

Oi, tudo bem? O problema nos deu esse limite aqui para resolvermos

lim x → 2 ⁡ s e n 3 x - 6 x 2 - 5 x + 6

e sem usar a regra de L’Hôpital! Isso significa que quando substituirmos x por 2 vamos encontrar uma indeterminação!

Vamos verificar?

lim x → 2 ⁡ s e n 3 x - 6 x 2 - 5 x + 6 = s e n 3.2 - 6 2 2 - 5.2 + 6 = 0 0

Poxa vida, encontramos mesmo uma indeterminação! Então o jeito é sair desse zero sobre zero! Mas como? Bom, o primeiro truque que aprendemos é fatorar o polinômio! Assim quem sabe conseguimos ver algum limite fundamental (já que temos aquele seno dando sopa no numerador...)

Belezinha até aqui?

Mas fica tranquilo, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Nosso limite é o seguinte

lim x → 2 ⁡ s e n 3 x - 6 x 2 - 5 x + 6

A ideia é fatorar o denominador:

x 2 - 5 x + 6 = 0

x = - ( - 5 ) ± ( - 5 ) 2 - 4.1 . 6 2.1 = 5 ± 25 - 24 2

x = 5 ± 1 2

Daqui temos dois resultados

x ' = 3   o u   x ' ' = 2

Beleza?

Nosso denominador fatorado fica então assim

x 2 - 5 x + 6 = x - 2 x - 3

E podemos voltar ao nosso limite

lim x → 2 ⁡ s e n 3 x - 6 x 2 - 5 x + 6 = lim x → 2 ⁡ s e n 3 x - 6 x - 2 x - 3

Passo 3

E agora? Agora vem o truque mais sujo da vida! Dá uma olhada com carinho para o argumento do seno

s e n 3 x - 6

Ele não é 3 vezes um dos fatores do denominador?

3 . x - 2 = 3 x - 6

Então esse é nosso próximo passo! Multiplicar em cima e embaixo por 3 no limite

lim x → 2 ⁡ s e n 3 x - 6 x - 2 x - 3 . 3 3 = lim x → 2 ⁡ 3   s e n 3 x - 6 3 x - 6 x - 3

Mas porque fazer isso?

Lembra que comentei no passo 1 sobre o limite fundamental? Vamos relembrar?

lim u → 0 ⁡ s e n u u = 1

É isso que estamos atrás! E estamos muito próximos de conseguir!

Passo 4

Vamos regatar nosso limite

lim x → 2 ⁡ s e n 3 x - 6 3 x - 6 x - 3

Sabemos que o limite do produto é o produto dos limites, então podemos separar convenientemente em dois esse limite aí em cima

lim x → 2 ⁡ s e n 3 x - 6 3 x - 6 . lim x → 2 ⁡ 3 x - 3

Vamos avaliar esses limites separadamente? Bora lá! Começando pelo da esquerda:

lim x → 2 ⁡ s e n 3 x - 6 3 x - 6

Isso aqui é exatamente o limite fundamente que eu falei ali em cima!

Se fizemos a seguinte mudança de variáveis

u = 3 x - 6

Quando x → 2 temos que

u = 3.2 - 6 = 0

Então nosso limite fica o seguinte

lim u → 0 ⁡ s e n u u

1 ! Uhuuuul!

Bom, e o limite mais à direita?

lim x → 2 ⁡ 3 x - 3 = 3 2 - 3 = - 3

Esse foi fácil!

Então agora é só substituir!

lim x → 2 ⁡ s e n 3 x - 6 3 x - 6 x - 3 = lim x → 2 ⁡ s e n 3 x - 6 3 x - 6 ⏝ = 1 . lim x → 2 ⁡ 3 x - 3 ⏝ = - 3

= 1 . - 3 = - 3

Nosso limite existe, e vale - 3 ! Bora treinar mais?

Resposta

- 3

Exercícios de Livros Relacionados

Existe um número a tal que lim x → - 2 ⁡ 3 x 2 + a x + a + 3 x 2 + x - 2 exista? Caso afirmativo, encontre a e o valor do limite.
Calcule o limite, se existir. lim h → 0 ⁡ ( 3 + h ) - 1 - 3 - 1 h
Calcule o limite, se existir. lim x → 1 ⁡ x 3 - 1 x 2 - 1
Determine o limite infinito.underset(x - pi^-)(lim) cot x
Calcule o limite, se existir. 12 . lim x → - 4 ⁡ x 2 + 5 x + 4 x 2 + 3 x - 4