Sem utilizar a Regra de L’Hôpital, calcule os limites abaixo ou justifique caso eles não existam

b )   lim x → - 1 ⁡ x 2 + 2 x + 1 x 2 - 2 x - 3 s e n x x 2 - 1

Passo 1

Olá pessoal, tudo certinho? O problema nos deu esse limite aqui para resolvermos

lim x → - 1 ⁡ x 2 + 2 x + 1 x 2 - 2 x - 3 s e n x x 2 - 1

e sem usar a regra de L’Hôpital! Isso significa que quando substituirmos x por - 1 vamos encontrar uma indeterminação!

Vamos verificar?

( - 1 ) 2 + 2 ( - 1 ) + 1 ( - 1 ) 2 - 2 ( - 1 ) - 3 s e n - 1 ( - 1 ) 2 - 1 = 0 0 . s e n ( ∞ )

Poxa vida, pela primeira impressão, achamos que isso seria uma indeterminação, não é mesmo?

Mas pensa só comigo: a função seno não é limitada?

É! Ela é uma função limitada a uma imagem que está entre [ - 1,1 ] sempre! Para qualquer valor de x !

No nosso caso temos s e n ( ∞ ) : não sabemos qual é o argumento dentro do seno, mas ele é bem grande!

Mas será que isso importa? Não importa não! Pois qualquer que seja esse valor, o seno vai devolver um valor entre - 1 e 1 ! Super bem-comportado!

Mas então, qual é o resultado desse limite?

A resposta está em analisar o comportamento do produto dos limites! Isso porque o limite de um produto é o produto dos limites! E uma parte desse produto aí sim é uma indeterminação

Mas fica tranquilo, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Nosso limite é o seguinte

lim x → - 1 ⁡ x 2 + 2 x + 1 x 2 - 2 x - 3 s e n x x 2 - 1

Podemos separar em dois limites:

lim x → - 1 ⁡ x 2 + 2 x + 1 x 2 - 2 x - 3 .   lim x → - 1 ⁡ s e n x x 2 - 1

Olhando para a parte em seno

lim x → - 1 ⁡ s e n x x 2 - 1 = s e n ( ∞ )

Já analisamos e vimos que é uma função limitada, embora não saibamos o seu valor, sabemos que não é infinito! E nesse caso temos dois desfechos possíveis:

  • Se a outra parte do limite for zero, podemos dizer que o limite é zero! E aí ele existe! Pois um produto de um número finito (mesmo que não saibamos exatamente quanto vale) por zero é zero!
  • E se der um valor finito? Aí dizemos que o limite não existe! Isso porque não podemos determinar com exatidão qual será o valor do seno, só sabemos que ele está entre [ - 1,1 ] , e isso não basta para afirmarmos qual o valor do limite

Nossa missão agora é encontrar a outra parte do limite!

Passo 3

Bora analisar a outra parte do limite?

lim x → - 1 ⁡ x 2 + 2 x + 1 x 2 - 2 x - 3

A ideia é fatorar tanto numerador quanto denominador:

x 2 - 2 x - 3 = 0

x = - ( - 2 ) ± ( - 2 ) 2 - 4 . 1 . ( - 3 ) 2 . 1 = 2 ± 16 2

x = 2 ± 4 2

Daqui temos dois resultados

x ' = 3   o u   x ' ' = - 1

Aí o denominador fica x 2 - 2 x - 3 = ( x - 3 ) ( x + 1 )

Tranquilo até aqui?

O numerador é um trinômio quadrado perfeito

x 2 + 2 x + 1 = x + 1 2

Aí a razão de polinômios fica assim

x 2 + 2 x + 1 x 2 - 2 x - 3 = x + 1 2 x - 3 x + 1 = x + 1 x - 3

Agora vamos avaliar novamente o limite quando x → - 1 :

lim x → - 1 ⁡ x + 1 x - 3 = 0 - 4 = 0

Sabemos que o limite do produto é o produto dos limites, então podemos juntar nossos resultados!

lim x → - 1 ⁡ x 2 + 2 x + 1 x 2 - 2 x - 3 ⏝ = 0 .   lim x → - 1 ⁡ s e n x x 2 - 1 ⏝ l i m i t a d a = 0 . l i m i t a d a = 0

Nosso limite existe, e vale 0 ! Bora praticar mais?

Resposta

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Calcule o limite, se existir. lim x → 1 ⁡ x 3 - 1 x 2 - 1
Determine o limite infinito.underset(x - pi^-)(lim) cot x
Calcule o limite, se existir. 12 . lim x → - 4 ⁡ x 2 + 5 x + 4 x 2 + 3 x - 4