Verifique se as afirmações abaixo são verdadeiras, justificando as respostas, isto é, exibindo uma

prova nos casos verdadeiros e dando um contraexemplo nos casos falsos. (Atenção: você pode

assumir verdadeiras as propriedades de limites vistas em sala de aula.)

  1. Se existem os limites lim x → x 0 ⁡ f x   e lim x → x 0 ⁡ f x + g x ,   e n t ã o   e x i s t e lim x → x 0 ⁡ g ( x ) .
  2. Pode existir lim x → x 0 ⁡ f x + g x   s e m   q u e   e x i s t a lim x → x 0 ⁡ f ( x )   o u lim x → x 0 ⁡ g ( x ) .
  3. Se existe lim x → x 0 ⁡ f x e não existe lim x → x 0 ⁡ g ( x ) , então não existe lim x → x 0 ⁡ f x + g x .
  4. Se existe lim x → x 0 ⁡ f x e lim x → x 0 ⁡ g ( x ) , então existe lim x → x 0 ⁡ f x g x .
  5. Se existe lim x → x 0 ⁡ f x e não existe lim x → x 0 ⁡ g ( x ) , então não existe lim x → x 0 ⁡ f x g x .
  6. Se existe lim x → x 0 + ⁡ f x e lim x → x 0 - ⁡ f ( x ) , então existe lim x → x 0 ⁡ f x existe.

Passo 1

Vamooo resolver mais umazinha

Será que é possível que o limite lim x → x 0 ⁡ f x + g x exista mesmo que os limites individuais lim x → x 0 ⁡ f ( x ) ou lim x → x 0 ⁡ g ( x )   não existam?

Para descobrir isso, vamos tentar encontrar um contraexemplo em que os limites individuais não existem, mas a soma tem um limite.

Contraexemplo:

Considere as seguintes funções:

f x =   1 ,                 s e   x ≠ 0 0 ,                   s e   x = 0

g x =   - 1 ,                 s e   x ≠ 0 0 ,                   s e   x = 0

Ambas f x e   g x são descontínuas em x = 0 e seus limites laterais não são iguais. Isso implica que individuais lim x → x 0 ⁡ f ( x ) ou lim x → x 0 ⁡ g ( x )   não existam.

Passo 2

No entanto, considere a função soma   f ( x )   +   g ( x )   :

f x + g ( x ) =   0 ,                 s e   x ≠ 0 0 ,                   s e   x = 0

O limite de f ( x )   +   g ( x ) quando x   se aproxima de 0 existe e é 0:

lim x → x 0 ⁡ f x + g x = lim x → 0 ⁡ = 0

Portanto, neste contraexemplo, temos lim x → x 0 ⁡ f x + g x   existindo, mas lim x → x 0 ⁡ f ( x ) e lim x → x 0 ⁡ g ( x )   não existindo.

Isso demonstra que é possível que o limite lim x → x 0 ⁡ f x + g x   exista sem que os limites individuais lim x → x 0 ⁡ f ( x ) e lim x → x 0 ⁡ g ( x ) existam.

Resposta

Verdadeira.

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