Verifique se as afirmações abaixo são verdadeiras, justificando as respostas, isto é, exibindo uma

prova nos casos verdadeiros e dando um contraexemplo nos casos falsos. (Atenção: você pode

assumir verdadeiras as propriedades de limites vistas em sala de aula.)

  1. Se existem os limites lim x → x 0 ⁡ f x   e lim x → x 0 ⁡ f x + g x ,   e n t ã o   e x i s t e lim x → x 0 ⁡ g ( x ) .
  2. Pode existir lim x → x 0 ⁡ f x + g x   s e m   q u e   e x i s t a lim x → x 0 ⁡ f ( x )   o u lim x → x 0 ⁡ g ( x ) .
  3. Se existe lim x → x 0 ⁡ f x e não existe lim x → x 0 ⁡ g ( x ) , então não existe lim x → x 0 ⁡ f x + g x .
  4. Se existe lim x → x 0 ⁡ f x e lim x → x 0 ⁡ g ( x ) , então existe lim x → x 0 ⁡ f x g x .
  5. Se existe lim x → x 0 ⁡ f x e não existe lim x → x 0 ⁡ g ( x ) , então não existe lim x → x 0 ⁡ f x g x .
  6. Se existe lim x → x 0 + ⁡ f x e lim x → x 0 - ⁡ f ( x ) , então existe lim x → x 0 ⁡ f x existe.

Passo 1

Oi galerinha do RA. Bora resolver mais essa comigo?

A afirmação é verdadeira.

Vou justificá-la utilizando propriedades de limites.

Justificativa:

Se lim x → x 0 + ⁡ f x (limite pela direita) e lim x → x 0 - ⁡ f x (limite pela esquerda) existem, significa que a função f ( x ) está bem-comportada tanto à direita quanto à esquerda de x 0 .

Vamos usar a definição de limite para mostrar que lim x → x 0 ⁡ f x   existe e é igual aos limites laterais.

A definição do limite lim x → x 0 ⁡ f x   é que, para qualquer valor positivo ε deve existir um valor positivo δ tal que se   0   <   | x   -   x 0 |   < δ , então | f ( x )   -   L |   < ε , onde L é o limite.

Passo 2

Se lim x → x 0 + ⁡ f x existe, significa que para um valor positivo ε 1 , existe um valor positivo δ 1 tal que s e   x 0 < x < x 0 + δ 1 ,   e n t ã o   | f ( x ) - L | < ε 1 .

Da mesma forma, se lim x → x 0 - ⁡ f x existe, significa que para um valor positivo   ε 2 , existe um valor positivo δ 2 tal que se x 0 - δ 2 < x < x 0 , então | f ( x ) - L | < ε 2 .

Agora, podemos escolher δ = m i n ( δ 1 ,   δ 2 ) .

Se 0 < | x - x 0 | < δ , então temos x 0 - δ 2 < x < x 0 + δ 1 , o que significa que | f ( x ) - L | < ε 1   e   | f ( x ) - L | < ε 2 .

Como o limite deve ser único, ε 1 = ε 2 , então | f ( x ) - L | < ε .

Isso mostra que lim x → x 0 ⁡ f x   existe e é igual a L ,   o que completa a justificativa.

Portanto, se lim x → x 0 + ⁡ f x e lim x → x 0 - ⁡ f x existem, então lim x → x 0 ⁡ f x também existe.

Resposta

Verdadeira.

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