Verifique se as afirmações abaixo são verdadeiras, justificando as respostas, isto é, exibindo uma

prova nos casos verdadeiros e dando um contraexemplo nos casos falsos. (Atenção: você pode

assumir verdadeiras as propriedades de limites vistas em sala de aula.)

  1. Se existem os limites f x     e f x + g x   ,   e n t ã o   e x i s t e g ( x )   .
  2. Pode existir f x + g x     s e m   q u e   e x i s t a f ( x )     o u g ( x )   .
  3. Se existe f x   e não existe g ( x )   , então não existe f x + g x   .
  4. Se existe f x   e g ( x )   , então existe f x g x   .
  5. Se existe f x   e não existe g ( x )   , então não existe f x g x   .
  6. Se existe f x   e f ( x )   , então existe f x   existe.

Passo 1

Bora maceta essa juntin comigo?

A afirmação dada é parcialmente verdadeira, mas requer algumas condições adicionais para ser completamente verdadeira.

A afirmação é verdadeira sob a condição de que o limite de g ( x ) no ponto ( x 0 ) não seja igual a zero (ou seja, l i m x → x 0 g ( x ) ≠   0 .

Vou explicar com mais detalhes.

A afirmação é baseada na propriedade dos limites em que, se f x   e g ( x )   existem e g ( x )     não é igual a zero, então o limite de f ( x ) / g ( x ) também existe e é igual a f x g x  

Aqui está uma prova dessa afirmação:

Dado que f x   e g ( x )   existem e g ( x )   não é igual a zero, podemos aplicar a regra do limite para o quociente de funções:

f x g x   = f x   g x  

Passo 2

Desde que f x   e g ( x )   existam (conforme dito na afirmação), podemos calcular o limite do quociente desta forma, e a afirmação é verdadeira nesse caso.

Agora, para mostrar que a afirmação não é verdadeira quando g ( x )   = 0 , considere o seguinte contraexemplo:

Seja f x = x   e   g x = x   e   x 0 = 0 .

Nesse caso, temos:

f x   = x   = 0

g x   = x   = 0

Passo 3

Ambos os limites existem, mas g x   = 0 , o que viola a condição de que g x     não deve ser igual a zero. Agora, vamos calcular o limite de f ( x ) / g ( x )

f x g x   = x x  

Neste caso, o limite resultante é uma indeterminação do tipo " 0 / 0 " , e não podemos determinar o limite diretamente. Portanto, a afirmação não é verdadeira quando g x   = 0 .

Portanto, a afirmação é verdadeira somente se g x   , não for igual a zero, mas não é verdadeira quando g x   = 0 . Então como um todo é FALSA

Resposta

FALSA

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