Exercícios Resolvidos de Superfície Aberta

UFF, Cálculo IIIA, Listas GMA - Lista 6, Questão 12

12) Seja a superfície cônica S de vértice 0 ,   0 ,   h , h > 0 , de base situada no plano x y com raio 1 e n com componente k não negativa. Seja

F x ,   y ,   z = f y x ,   y ,   z   i - f x x ,   y ,   z   j + 2 z + 1 k

Sendo f x ,   y ,   z de classe C 2 em R 3 . Calcule o fluxo de F através de S .

Passo 1

Se o problema nos pediu fluxo de F sobre uma superfície S , com toda certeza o que ele está buscando é que façamos uma integral de superfície:

S   F n   d S

Para resolver essa integral, poderíamos seguir basicamente 2 caminhos:

1º - Fazer de uma forma direta (parametrizando e tudo mais)

2º - Aplicar o Teorema de Gauss.

Pow, perceba que nem temos muitas informações sobre o Campo F para calcular pelo método direto, afinal não temos informações sobre f .

Então vamos tentar pegar o caminho alternativo, o seja por G a u s s , mas será que o divergente de F ajuda a eliminar essas derivadas parciais de f aí?

d i v   F = F 1 x + F 2 y + F 3 z    

Calculando as derivadas parciais:

F 1 x = x f y x ,   y ,   z = 2 f x y x ,   y ,   z

F 2 y = y - f x x ,   y ,   z = - 2 f y x x ,   y ,   z

F 3 z   = 2 z + 1 z   = 2

Então...

d i v   F = 2 f x y x ,   y ,   z - 2 f y x x ,   y ,   z + 2

Pow! Como o f é de C 2 , então, podemos afirmar que...

2 f x y x ,   y ,   z = 2 f y x x ,   y ,   z

d i v   F = 2

Pow, com um divergente simples e convidativo (se parece com a equação da esfera) sim, o problema está pedindo que façamos por Gauss!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

O teorema basicamente é a igualdade maravilhosa:

W   F d S = W   d i v   F   d V

Mas não podemos aplicar essa integral assim... De qualquer forma. Precisamos averiguar as condições do Teorema que nos pede:

1º - Uma superfície fechada W delimitando o sólido W :

2º - Sem singularidades na função Vetorial:

3º - Superfície orientada positivamente:

Vem comigo averiguar essas condições ;D

Passo 3

1º - Uma superfície fechada W delimitando o sólido W :

Se desenharmos a superfície S que queremos o fluxo, como o problema nos sugeriu,

Veja que ela nos representa um cone da boca pra baixo e com o vértice em 0 ,   0 ,   h . Infelizmente ela é uma superfície aberta, logo, para aplicar o Teorema teremos que fecha-la. Podemos fazer isso com o plano z = 0 ...

Veja então que o sólido W onde devemos integrar agora é fechado pelas superfícies S e por esse circulo de raio 1 que vamos chamar de S 2 , logo...

W   F d S = W   d i v   F   d V      

S   F d S + S 2   F d S = W   d i v   F   d V  

Como queremos o fluxo só em S , isolemos...

S   F d S = W   d i v   F   d V - S 2   F d S

Passo 4

2º - Sem singularidades na função Vetorial:

F x ,   y ,   z = f y x ,   y ,   z   i - f x x ,   y ,   z   j + 2 z + 1 k

Esse campo Vetorial funciona em todas as situações já que as derivadas são de classe C 2 e a coordenada z não tem nenhum bug como uma divisão por 0 ou algo do tipo.

3º - Superfície orientada positivamente:

Bem, isso significa que precisamos de uma superfície com vetores normais saindo do sólido fechado por ela, o que já acontece lá do enunciado, afinal o vetor n tem a componente z positiva...

(Observe que para tudo estar orientado positivamente, precisamos de um vetor n apontado pra baixo)

Passo 5

Bem, com as três condições sendo satisfeitas, podemos aplicar a igualdade do Teorema sem nenhuma restrição...

S   F d S = W   d i v   F   d V - S 2   F d S

Então vamos lá, e começando com a integral tripla...

W   d i v   F   d V = W   2   d V

2 vezes a integral de d V representa...

W   2   d V = 2 V o l u m e   d e   W

Como Z é um cone de altura h e a base é uma circunferência de raio 1 , então...

2 V o l u m e   d e   W = 2 π 1 2 h 3 =

2 π h 3

Passo 6

Para a integral de superfície em cima do círculo no plano x y ...

S 2   F n   d S

Veja que o vetorsinho normal a esse cara é...

n = 0 ,   0 ,   - 1

Logo...

S 2   F n   d S = S 2   f y x ,   y ,   z , - f x x ,   y ,   z   ,   2 z + 1 0 ,   0 ,   - 1   d S =

S 2   - 2 z - 2   d S

O z dessa superfície é 0 já que o círculo está no plano x y ...

S 2   - 2   d S = - 2 S 2     d S

A integral de d S é a área de S 2 , ou seja, a área do disco de raio 1 como calculamos ali em cima...

- 2 S 2     d S = - 2 π 1 2 = - 2 π

Passo 7

Voltando para a integral de superfície que queremos...

S   F d S = W   d i v   F   d V - S 2   F d S

E substituindo tudo...

S   F d S = 2 π h 3 - - 2 π =

2 π 3 h + 3

Resposta

2 π 3 h + 3

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