Exercícios Resolvidos de Superfície Aberta

Use o Teorema do Divergente para calcular

∬ S F .   d S

Sendo

F x , y , z = ( z 2 x )   i + 1 3 y 3 + t g   z j + x 2 z + y 2 k

E S a metade superior da esfera de equação x 2 + y 2 + z 2 = 1 .

Passo 1

Bom, essa questão é simples, o problema dela é que você tem que ter uma sacada! Essa superfície que ele descreve, não está fechada!

Mas o que Gauss nos afirma

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Bom, para fechar nossa semiesfera, vamos usar um disco D no plano xy, descrito como x 2 + y 2 ≤ 1 . Lembrando que o mesmo deve ser orientado para baixo!

∬ D F .   d s =   ∬ D F   . - k d s

= - ∬ D x 2 z + y 2 d s

Usando coordenadas polares, onde x = r c o s θ ,   y = r s e n θ   e   J = r , com o raio variando de 0 a 1 e θ de 0 a 2 π .

- ∬ D r   c o s θ 2 . 0 + r   s e n θ 2   r   d r   d θ

- ∫ 0 2 π 1 - c o s   2 θ   2   d θ   ∫ 0 1 r 3 d r

= - π . 1 4 = - π 4

Passo 3

Bom, mas isso que achamos foi só para o disco! A questão nos pede para a parte superior da esfera. Note que:

∬ S F   d s + ∬ D F   d s = ∬ S U D F   d s =   ∭ P d i v F d v  

Onde P é a esfera unitária centrada na origem.

Passo 4

Agora então podemos calcular o d i v ( F )

∭ P d i v F d v =   ∭ P z 2 + y 2 + x 2 d V

Lembrando que

Passo 5

Usando então coordenadas esféricas (sem esquecer o Jacobiano) para representar a parte superior da esfera unitária escrevemos:

0 ≤ θ ≤ 2 π

0 ≤ φ ≤ π 2

0 ≤ ρ ≤ 1

∫ 0 2 π ∫ 0 π 2 ∫ 0 1 ρ 2 ρ 2   s e n   φ   d ρ d φ d θ

2 π ∫ 0 π 2 s e n   φ   d φ   ∫ 0 1 ρ 4   d ρ

2 π . 1 . 1 5 = 2 π 5  

Passo 6

Por fim então juntamos o que temos.

∬ S F   d s + ∬ D F   d s = ∭ P d i v F d v  

∬ S F   d s + - π 4 = 2 π 5

∬ S F     d s = 2 π 5 + π 4 = 13 π 20  

Resposta

13 π 20

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