Exercícios Resolvidos de Superfície Aberta

Calcule ∬ S r o t F → ∙ n → d S onde F → x , y , z = y , 2 x , x y z , S é formada pelas cinco faces do cubo 0,2 × 0,2 × 0,2 que não estão no plano x y com n → exterior a S , usando o teorema de Gauss.

Passo 1

Ele quer que usemos o teorema de Gauss, então vamos usar, primeiro vamos achar o rotacional de F →

r o t F → = i j k ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z y 2 x x y z

r o t F → = x z i + 0 j + 2 k - 1 k - y z j - 0 i

r o t F → = x z i - y z j + 1 k

r o t F → = x z , - y z , 1

Para aplicarmos o teorema de Gauss Devemos ter uma superfície fechada, mas esse cubo não está fechado, falta a fase que está no plano x y , vamos pegar essa face então e chamar de S 2 e assim vamos poder usar o teorema de Gauss, vamos ter

∬ S ∪ S 2 r o t F → ∙ n → d S = ∭ W d i v r o t F → d W

Vamos calcular esse divergente

d i v r o t F → = ∂ ∂ x x z + ∂ ∂ y - y z + ∂ ∂ z 1

d i v r o t F → = z - z + 0 = 0

Então o divergente vai ser 0

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Aplicando o teorema de Gauss vamos ter

∬ S ∪ S 2 r o t F → ∙ n → d S = ∭ W d i v r o t F → d W

Assim vamos ter

∬ S ∪ S 2 r o t F → ∙ n → d S = ∭ W 0 d W

∬ S ∪ S 2 r o t F → ∙ n → d S = 0

∬ S r o t F → ∙ n → d S + ∬ S 2 r o t F → ∙ n → d S = 0

Vamos precisar só calcular a integral dupla ao longo de S 2

Passo 3

Para orientar essa parada positivamente, temos que apontar o vetor normal para fora, Como essa face está no plano x y o vetor normal apontando para fora vai ser

n → = 0,0 , - 1

∬ S 2 r o t F → ∙ n → d S = ∬ S 2 x z , - y z , 1 ∙ 0,0 , - 1 d S = ∬ S 2 - 1 d S

Com

S 2 : 0 ≤ x ≤ 2   e 0 ≤ y ≤ 2

A integral ficou

∬ S 2 - 1 d S = - ∬ S 2 d S = - Á r e a   d o   Q u a d r a d o = - 4

Passo 4

Voltando para a soma das integrais duplas vamos ter

∬ S r o t F → ∙ n → d S + ∬ S 2 r o t F → ∙ n → d S = 0

∬ S r o t F → ∙ n → d S + - 4 = 0

∬ S r o t F → ∙ n → d S = 4

Resposta

4

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