Exercícios Resolvidos de Superfície Aberta

Calcule o fluxo do campo vetorial

F → x , y , z = 2 x z , y , - z 2 - z

Através da superfície S definida por

y = 1 4 - x 2 - z 2

Com campo vetorial normal n → tendo componente y positiva.

Passo 1

A superfície S é quase uma esfera, mas na verdade é só parte dela, mais especificamente, a parte com y ≥ 0 :

Mas o campo parece meio chato, ainda mais se tentassemos meter uma parametrização esférica aí.. Mas se tentarmos aplicar Gauss, vemos que o divergente:

div ⁡ F → = ∂ 2 x z ∂ x + ∂ y ∂ y + ∂ - z 2 - z ∂ z = 2 z + 1 - 2 z - 1 = 0

Então parece uma ótima ideia. Só que Gauss só pode ser usado em superfícies fechadas, né?

Mas isso não é problema, é só nós mesmos fecharmos a superfíe! Nesse caso, a forma mais fácil pra isso parece ser criar uma superfície S 1 sendo o plano y = 0 , com normal com y negativo, para respeitarmos a orientação. Aí vamos ter:

∬ ∂ W F → ∙ d S → = ∭ W div ⁡ F → d V

Mas já vimos que o divergente é 0 entaõ vai ficar:

∬ S F → ∙ d S → + ∬ S 1 F → ∙ d S → = 0

⇒ ∬ S F → ∙ d S → = - ∬ S 1 F → ∙ d S →

Bem, saímos de calcular uma integral sobre um pedaco de esfera, para calcularmos a integra sobre o plano, acho que melhorou já, né? Vamos ver se da pra resolver mesmo!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

O que temos que fazer é calcular uma integral de superfície vetorial, entaõ vamos usar a fórmula:

∬ S 1 F → ∙ d S → = ∬ D F → φ u , v ∙ N → u , v d u d v

Então primeiro de tudo vamos parametrizar nosso plano, que fica, simplesmente:

S 1 : φ → x , z = x , 0 , z

Com domínio sendo circulo no plano x z :

D : x 2 + z 2 = 1 4

E o normal, por ser no plano x z , vai ser:

N → x , z = 0 , - 1,0

Com orientação negativa, como tinhamos dito lá em cima.

Passo 3

Agora é só jogar na fórmula e vamos ter:

∬ D F → φ x , z ∙ N → x , z d x d z = ∬ D 2 x z , 0 , - z 2 - z ∙ 0 , - 1,0 d x d z

⇒ ∬ D 0 + 0 + 0 d x d z = 0

E como tinhamos visto na relação lá em cima:

∬ S F → ∙ d S → = - ∬ S 1 F → ∙ d S → = 0

Tudo isso pra dar zero, sério mesmo?

Resposta

0

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas

Muita matéria pra estudar?

Dexter Estudando

Cadastre-se para acessar os Resumões Gratuitos

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas