Exercícios Resolvidos de Superfície Aberta

Questão 4: Considere uma esfera E eum paralelepípedo sólido P definidos por

E = x ,   y ,   z |   x 2 + y 2 + z 2 = 4 ;     P = x ,   y ,   z |   x ≤ 1 ,   y ≤ 3 ,   z ≤ 5 .

  1. Dê uma parametrização da superfície S = E ∩ P , orientada com vetor normal apontando para a origem.
  2. duas expressões que permitam calcular o fluxo do campo F → = x ,   - 2 y ,   z através de S , uma na parametrização, e outra usando o Teorema de Gauss.
  3. Escolha uma destas duas expressões e calcule o fluxo

∬ S   F → ⋅ d S →

Passo 1

Item I)

Primeiro é legal termos uma visão geométrica da nossa superfície, certo? Sabemos que a nossa S é a intersecção da esfera de raio 2 :

Com o paralelepípedo, onde - 1 ≤ x ≤ 1 , - 3 ≤ y ≤ 3 e - 5 ≤ z ≤ 5 :

Pow, os pontos que são comuns tanto à casca esférica e o paralelepípedo, são esses pontos da esfera no interior:

Como se tivéssemos cortado as calotas em x = 1 e em x = - 1 e as jogadas fora, entende?

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Passo 2

Parametrizar essa superfície requer a utilização das primas das coordenadas esféricas:

x = r ⋅ sin ⁡ φ ⋅ cos ⁡ θ

y = r ⋅ sin ⁡ φ ⋅ sin ⁡ θ

z = r ⋅ cos ⁡ φ

Só que a gente vai mudar algumas coisas nela. Bem, primeiro, perceba que com essa mudança, temos essas variáveis “variando” desse jeito aqui, veja:

Poxa, veja que é extremamente complicado descrever o sólido com essas variáveis do jeito que esta, pois o ângulo φ é depende do ângulo θ . Mas veja que se mudarmos as coordenadas de forma que o ângulo φ varie da borda feita pelo plano x = 1 até a outra feita pelo plano x = - 1 , dessa forma aqui:

Muito melhor, pois assim, o ângulo θ varia de 0 até 360 ° , enquanto ângulo φ varia de uma borda a outra sem depender de θ , saca? Mas ao fazer essa mudança, estamos basicamente mudando as coordenadas:

x = r ⋅ sin ⁡ φ ⋅ cos ⁡ θ y = r ⋅ sin ⁡ φ ⋅ sin ⁡ θ = r ⋅ cos ⁡ φ                               P a s s a   a   s e r … →                             y = r ⋅ sin ⁡ φ ⋅ cos ⁡ θ z = r ⋅ sin ⁡ φ ⋅ sin ⁡ θ x = r ⋅ cos ⁡ φ

Pra fazer essa troca, é só observar que para o ângulo φ sai do eixo x , então temos que ter o cos ⁡ φ com x (o mesmo vale para o ângulo θ sai do eixo y ), saca?

Bem, essas aí são as coordenadas esféricas, mas queremos utiliza-la para parametrizar uma esfera de raio fixo igual a 2 , então concluímos que uma boa parametrização é:

σ φ ,   θ = 2 ⋅ cos ⁡ φ ,   2 ⋅ sin ⁡ φ ⋅ cos ⁡ θ ,   2 ⋅ sin ⁡ φ ⋅ sin ⁡ θ

Passo 3

Calma jovem, que ainda falta os limites!

Como já comentamos, vamos ter um ângulo θ dando uma volta completa ao redor do eixo x :

0 ≤ θ ≤ 2 π

Enquanto isso:

P l a n o   x = 1 ≤ φ ≤ P l a n o   x = - 1

Onde mudando para os termos da parametrização...

P l a n o   x = 1 :

x = 1     →         2 ⋅ cos ⁡ φ = 1       →

cos ⁡ φ = 1 2           →

φ = 60 ° = π 3

E

P l a n o   x = - 1 :

x = - 1     →         2 ⋅ cos ⁡ φ = - 1       →

cos ⁡ φ = - 1 2           →

φ = 120 ° = 2 π 3

Logo:

π 3 ≤ φ ≤ 2 π 3

Passo 4

Calma que só falta mais uma coisinha para terminarmos: o vetor normal!

Esse vetor sempre pode ser encontrado fazendo o produto vetorial entre as derivadas parciais da parametrização de superfície:

N → = ∂ σ ∂ φ × ∂ σ ∂ θ

Só que calcular essas derivadas parciais aí é um pouco chato! Aqui é melhor utilizar um bizu: toda vez que temos esferas centradas na origem sendo parametrizadas, basta fazermos:

N → = R ⋅ sin ⁡ φ ⋅ σ φ ,   θ

Onde R é o raio da esfera que no caso é 2 :

N → = 2 ⋅ sin ⁡ φ ⋅ 2 ⋅ cos ⁡ φ ,   2 ⋅ sin ⁡ φ ⋅ cos ⁡ θ ,   2 ⋅ sin ⁡ φ ⋅ sin ⁡ θ   →

N → = 4 ⋅ sin ⁡ φ ⋅ cos ⁡ φ ,   4 ⋅ sin 2 ⁡ φ ⋅ cos ⁡ θ ,   4 ⋅ sin 2 ⁡ φ ⋅ sin ⁡ θ

Só tem um porem: o enunciado nos pede...

“... orientada com vetor normal apontando para a origem.

Logo, para esse vetor normal atender essa condição, precisamos inverter o sinal dessas coordenadas aí:

N → = - 4 ⋅ sin ⁡ φ ⋅ cos ⁡ φ , -   4 ⋅ sin 2 ⁡ φ ⋅ cos ⁡ θ , -   4 ⋅ sin 2 ⁡ φ ⋅ sin ⁡ θ

Passo 5

Item II)

A primeira expressão é a integral de superfície calculada de uma forma direta:

∬ S   F → ⋅ d S →

Onde:

F → = x ,   - 2 y ,   z

Em termos das parametrizações...

F → = 2 ⋅ cos ⁡ φ ,   - 2 ⋅ 2 ⋅ sin ⁡ φ ⋅ cos ⁡ θ ,   2 ⋅ sin ⁡ φ ⋅ sin ⁡ θ

Enquanto isso:

S :   0 ≤ θ ≤ 2 π

          π 3 ≤ φ ≤ 2 π 3

E:

d S → = N → d φ d θ

Então:

∬ S   F → ⋅ d S → = ∫ 0 2 π ∫ π 3 2 π 3 2 ⋅ cos ⁡ φ ,   - 2 ⋅ 2 ⋅ sin ⁡ φ ⋅ cos ⁡ θ ,   2 ⋅ sin ⁡ φ ⋅ sin ⁡ θ ⋅ - 4 ⋅ sin ⁡ φ ⋅ cos ⁡ φ , -   4 ⋅ sin 2 ⁡ φ ⋅ cos ⁡ θ , -   4 ⋅ sin 2 ⁡ φ ⋅ sin ⁡ θ   d φ d θ

Passo 6

A outra expressão é proveniente do Teorema de Gauss:

∬ ∂ W   F → ⋅ d S → = ∭ W   d i v   F → d V

Mas para isso precisamos de uma superfície ∂ W fechada e sendo o bordo do sólido W . Ora, essas bordas pode ser os próprios discos em x = 1 e x = - 1 :

Esses discos têm equações:

x 2 + y 2 + z 2 = 4       →

1 + y 2 + z 2 = 4       →

y 2 + z 2 = 3

A eles vamos dar o nome de D 1 para o disco no plano x = 1 e D - 1 para o que está no plano x = - 1 , assim, pelo Teorema de Gauss, a borda ∂ W = S ∪ D 1 ∪ D - 1 :

∬ S   F → ⋅ d S → + ∬ D 1   F → ⋅ d S → + ∬ D - 1   F → ⋅ d S → = ∭ W   d i v   F → d V

Como o divergente do campo F → = x ,   - 2 y ,   z é...

d i v   F → = ∂ F 1 ∂ x + ∂ F 2 ∂ y + ∂ F 3 ∂ z = 1 + - 2 + 1 = 0

Ficamos com...

∬ S   F → ⋅ d S → + ∬ D 1   F → ⋅ d S → + ∬ D - 1   F → ⋅ d S → = 0     →

∬ S   F → ⋅ d S → = - ∬ D 1   F → ⋅ d S → - ∬ D - 1   F → ⋅ d S →

Passo 7

Item III)

Vamos escolher essa primeira opção, pois parece ser mais tranquila:

∬ S   F → ⋅ d S → = ∫ 0 2 π ∫ π 3 2 π 3 2 ⋅ cos ⁡ φ ,   - 2 ⋅ 2 ⋅ sin ⁡ φ ⋅ cos ⁡ θ ,   2 ⋅ sin ⁡ φ ⋅ sin ⁡ θ ⋅ - 4 ⋅ sin ⁡ φ ⋅ cos ⁡ φ , -   4 ⋅ sin 2 ⁡ φ ⋅ cos ⁡ θ , -   4 ⋅ sin 2 ⁡ φ ⋅ sin ⁡ θ   d φ d θ   →

∫ 0 2 π ∫ π 3 2 π 3 - 8 ⋅ sin ⁡ φ ⋅ cos 2 ⁡ φ +   16 ⋅ sin 3 ⁡ φ ⋅ cos 2 ⁡ θ   - 8 ⋅ sin 3 ⁡ φ ⋅ sin 2 ⁡ θ   d φ d θ     →

∫ 0 2 π ∫ π 3 2 π 3 - 8 ⋅ sin ⁡ φ ⋅ cos 2 ⁡ φ +   16 ⋅ sin 3 ⁡ φ ⋅ cos 2 ⁡ θ   - 8 ⋅ sin 3 ⁡ φ ⋅ sin 2 ⁡ θ   d φ d θ =

∫ 0 2 π ∫ π 3 2 π 3 - 8 ⋅ sin ⁡ φ ⋅ cos 2 ⁡ φ   d φ d θ + ∫ 0 2 π cos 2 ⁡ θ ∫ π 3 2 π 3   16 ⋅ sin 3 ⁡ φ     d φ d θ + ∫ 0 2 π sin 2 ⁡ θ ∫ π 3 2 π 3   - 8 ⋅ sin 3 ⁡ φ   d φ d θ =

∫ 0 2 π d θ ⋅ ∫ π 3 2 π 3 - 8 ⋅ sin ⁡ φ ⋅ cos 2 ⁡ φ   d φ + ∫ 0 2 π cos 2 ⁡ θ d θ ⋅ ∫ π 3 2 π 3   16 ⋅ sin 3 ⁡ φ     d φ + ∫ 0 2 π sin 2 ⁡ θ d θ ⋅ ∫ π 3 2 π 3   - 8 ⋅ sin 3 ⁡ φ   d φ   =

Como ∫ 0 2 π sin 2 ⁡ θ d θ = ∫ 0 2 π cos 2 ⁡ θ d θ = π ...

2 π ∫ π 3 2 π 3 - 8 ⋅ sin ⁡ φ ⋅ cos 2 ⁡ φ   d φ + π ∫ π 3 2 π 3   16 ⋅ sin 3 ⁡ φ     d φ + π ⋅ ∫ π 3 2 π 3   - 8 ⋅ sin 3 ⁡ φ   d φ   =

Colocando as integrais dentro de uma só...

- 16 π ∫ π 3 2 π 3 sin ⁡ φ ⋅ cos 2 ⁡ φ   d φ + 16 π ∫ π 3 2 π 3   sin 3 ⁡ φ     d φ - 8 π ⋅ ∫ π 3 2 π 3   sin 3 ⁡ φ   d φ   =

- 8 π ∫ π 3 2 π 3 2   sin ⁡ φ ⋅ cos 2 ⁡ φ   d φ + ∫ π 3 2 π 3 - 2   sin 3 ⁡ φ     d φ + ∫ π 3 2 π 3   sin 3 ⁡ φ   d φ   =

- 8 π ∫ π 3 2 π 3 2  sin ⁡ φ ⋅ cos 2 ⁡ φ - 2   sin 3 ⁡ φ +   sin 3 ⁡ φ   d φ   =

- 8 π ∫ π 3 2 π 3 2  sin ⁡ φ ⋅ cos 2 ⁡ φ -   sin 3 ⁡ φ   d φ   =

- 8 π ∫ π 3 2 π 3 2  sin ⁡ φ ⋅ cos 2 ⁡ φ - sin ⁡ φ 1 - cos 2 ⁡ φ   d φ   =

- 8 π ∫ π 3 2 π 3 3 cos 2 ⁡ φ - 1   sin ⁡ φ d φ   =

Fazendo uma mudança:

cos ⁡ φ = t       →           d t = - sin ⁡ φ   d φ

Mudando também os limites...

φ = π 3                     →                     t = 1 2

φ = 2 π 3                     →                     t = - 1 2

Então...

8 π ∫ 1 2 - 1 2 3 t 2 - 1   d t   = 8 π t 3 - t 1 2 - 1 2 =

8 π - 1 2 3 - - 1 2 - 1 2 3 - 1 2 =

8 π - 1 4 + 1 = 6 π

Resposta

Item I)

σ φ ,   θ = 2 ⋅ cos ⁡ φ ,   2 ⋅ sin ⁡ φ ⋅ cos ⁡ θ ,   2 ⋅ sin ⁡ φ ⋅ sin ⁡ θ         c o m           θ ∈ 0 ,   2 π     e     φ ∈ π 3 , 2 π 3

Item II)

∬ S   F → ⋅ d S → = ∫ 0 2 π ∫ π 3 2 π 3 - 8 ⋅ sin ⁡ φ ⋅ cos 2 ⁡ φ +   16 ⋅ sin 3 ⁡ φ ⋅ cos 2 ⁡ θ   - 8 ⋅ sin 3 ⁡ φ ⋅ sin 2 ⁡ θ   d φ d θ

∬ S   F → ⋅ d S → = - ∬ D 1   F → ⋅ d S → - ∬ D - 1   F → ⋅ d S →

Item III)

6 π

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