Exercícios Resolvidos de Superfície Aberta

Teorema de Gauss

Seja F x , y , z = cos ⁡ ( z ) + x y 2 i + x e - z   j + s e n y + x 2 z k .

  1. Calcule ∇ × F .
  2. Seja I = ∬ S   ( ∇ × F ) . d S , onde S é a superfície do paraboloide z = x 2 + y 2 limitado pelo plano z = 4 , com vetores normais apontando para fora. Mostre que I = - 4 π e 4 , usando:

b1) o Teorema de Gauss.

Passo 1

Letra a)

Vamos começar calculando esse rotacional ai

r o t F → = ∇ ×   F → = i j k ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z F 1 F 2 F 3

r o t F → = ∂ F 3 ∂ y - ∂ F 2 ∂ z ,   ∂ F 1 ∂ z - ∂ F 3 ∂ x ,   ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y

r o t F → = cos ⁡ y + x e - z , - s e n   z - 2 x z , e - z - 2 x y

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Letra b)

Agora, precisamos mostrar que:

I = ∬ S   r o t F → . d S = - 4 π e 4

Onde S é o paraboloide z = x 2 + y 2 cortado pelo plano z = 4 .

Passo 3

Letra b1)

Aplicando o Teorema de Gauss, podemos trocar uma integral em uma superfície fechada por uma integral tripla no volume limitado por essa superfície.

Porém, S não é fechada. A superfície do problema é o paraboloide cortado, que é aberto!

Logo, precisamos fechar essa superfície antes de aplicar o teorema.Vamos fechar com o próprio disco plano que corta o paraboloide, para simplificar as coisas.

Então, sendo as superfícies orientadas positivamente (normais apontam para fora), temos:

∬ S   G → . d s + ∬ D   G → . d s = ∭ w   d i v G →   d V

Sendo G → = r o t F → :

∬ S   r o t F → . d s + ∬ D   r o t F → . d s = ∭ w   d i v r o t F →   d V

Onde S é o paraboloide cortado, D é o disco plano que “fecha” a superfície e W é o volume limitado por S e D . Foi?

Passo 4

Agora vamos calcular esse divergente aí:

r o t F → = cos ⁡ y + x e - z , - s e n   z - 2 x z , e - z - 2 x y

d i v r o t F → = ∂ ( cos ⁡ y + x e - z ) ∂ x +   ∂ ( - s e n   z - 2 x z ) ∂ y + ∂ ( e - z - 2 x y ) ∂ z

d i v r o t F → = e - z - e - z = 0

O que nos dá:

∬ S   r o t F → . d s + ∬ D   r o t F → . d s = 0

∬ S   r o t F → . d s = - ∬ D   r o t F → . d s

Precisamos, então, da integral em D .

Passo 5

Para encontrar a equação desse disco D , vamos fazer z = 4 na equação do paraboloide:

z = x 2 + y 2 = 4

Portanto, se trata de um círculo de raio 2 em z = 4 . Vamos, então, usar coordenadas polares, ok?

φ r , θ = r cos ⁡ θ , r   s e n   θ , 4

Onde 0 ≤ r ≤ 2 e 0 ≤ θ ≤ 2 π .

Agora, vamos achar a normal a essa superfície:

∂ φ ∂ r = cos ⁡ θ , s e n   θ , 0

∂ φ ∂ θ = - r   s e n   θ ,   r cos ⁡ θ , 0

∂ φ ∂ r × ∂ φ ∂ θ = i j k cos ⁡ θ s e n   θ 0 - r   s e n   θ r cos ⁡ θ 0 = 0,0 , r

Como a normal aponta para fora de W e, para o disco, isso significa z > 0 , sabemos que encontramos o vetor certo.

Passo 6

Agora vamos trazer tudo o que achamos para a fórmula:

∬ D   r o t F → . d S = ∬ R   r o t F → ( φ ) . ∂ φ ∂ r × ∂ φ ∂ θ d r d θ

Onde:

φ r , θ = r cos ⁡ θ , r   s e n   θ , 4

r o t F → = cos ⁡ y + x e - z , - s e n   z - 2 x z , e - z - 2 x y

r o t F → ( φ ) = ? , ? , e - 4 - 2 r 2 cos ⁡ θ s e n   θ

Nem escrevemos as duas primeiras componentes do rotacional porque elas vão cancelar quando for feito o produto escalar com a normal!

∬ D   r o t F → . d S = ∫ 0 2 π ∫ 0 2 ? , ? , e - 4 - 2 r 2 cos ⁡ θ s e n   θ . ( 0,0 , r ) d r d θ

Resolvendo isso aí:

= ∫ 0 2 π ∫ 0 2 r e - 4 - 2 r 3 cos ⁡ θ ,   s e n   θ d r d θ =

= ∫ 0 2 π r 2 2 e - 4 - r 4 2 cos ⁡ θ s e n   θ 0 2 d θ =

= ∫ 0 2 π 2 e - 4 - 8 cos ⁡ θ s e n   θ d θ =

= 2 θ e - 4 - 8 s e n 2 θ 0 2 π =

= 4 π e 4

Passo 7

Calma que ainda não acabou! Lembra que

∬ S   r o t F → . d s = - ∬ D   r o t F → . d s = - 4 π e 4

Agora sim!

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