Exercícios Resolvidos de Superfície Aberta

Teorema de Gauss

Calcule ∬ S   F → . n → d S , onde F → x , y , z = x + arctan ⁡ y 2 , - 2 y + e x cos ⁡ z ,   z + 1 e S é a superfície definida por:

z = 9 - x 2 + y 2 ,                                         0 ≤ z ≤ 5 z = 5 ,                                                               1 ≤ x 2 + y 2 ≤ 4 z = 8 - 3 x 2 + y 2 ,                             x 2 + y 2 ≤ 1

Com o campo de vetores normais exterior a S .

Passo 1

Antes de tudo, vamos fazer um esboço dessas superfícies. Temos um paraboloide virado para baixo z = 9 - x 2 + y 2 cortado em z = 0 e z = 5 , um anel em z = 5 e outro paraboloide z = 8 - 3 x 2 + y 2 :

Repara que todas essas superfícies encaixam bonitinho (pode conferir nas equações delas). Onde termina uma começa a outra.

Foi?

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Passo 2

Como o campo tem uma expressão meio complicada, nem rola calcular isso aí pela definição. Vamos tentar usar Gauss, ok?

Vamos começr calculando o divergente disso aí:

d i v F → = ∂ F 1 ∂ x +   ∂ F 2 ∂ y + ∂ F 3 ∂ z

d i v F → = 1 - 2 + 1 = 0

Gente, deu zero, que lindo.

Passo 3

Show, agora vamos aplicar o teorema. Para isso, vamos fechar essa região com esse círculo em z = 0 , ok?

∬ S   F → . n → d S + ∬ C   F → . n → d S = ∭ W   d i v F →   d V = 0

Onde W é a região limitada por S + C e as normais às superfícies apontam para fora.

∬ S   F → . n → d S = - ∬ C   F → . n → d S

Passo 4

Agora, precisamos da integral na disco. Repare que quando o paraboloide encontra o plano z = 0 :

z = 9 - x 2 + y 2 = 0

Temos uma circunferência de raio 3 . Logo, nosso disco tem esse raio. Vamos parametrizá-lo em coordenadas polares:

φ r , θ = ( r cos ⁡ θ ,   r   s e n   θ , 0 )

Onde 0 ≤ θ ≤ 2 π e 0 ≤ r ≤ 3 .

Passo 5

Agora vamos encontrar a normal a essa superfície:

∂ φ ∂ r = cos ⁡ θ ,   s e n   θ , 0

∂ φ ∂ θ = - r   s e n   θ ,   r cos ⁡ θ , 0

∂ φ ∂ r × ∂ φ ∂ θ = i j k cos ⁡ θ s e n   θ 0 - r   s e n   θ r cos ⁡ θ 0 = 0,0 , r

Bem, se as normais devem apontar para fora, quer dizer que, no plano, a normal é para baixo. Portanto, queremos o vetor oposto a esse:

∂ φ ∂ θ × ∂ φ ∂ r = 0,0 , - r

Passo 6

Certo, agora vamos usar essa fórmula aqui:

∬ C   F → . n → d S = ∬ D   F → φ r , θ . ∂ φ ∂ θ × ∂ φ ∂ r d r d θ

F → φ r , θ = ? , ? , 1

∬ C   F → . n → d S = ∫ 0 2 π ∫ 0 3 ? , ? , 1 . ( 0,0 , - r ) d r d θ

= - ∫ 0 2 π ∫ 0 3 r d r d θ =

Agora é só resolver

= - ∫ 0 2 π r 2 2 0 3 d θ =

= - 9 2 ∫ 0 2 π d θ =

= - 9 π

Passo 7

Temos então

∬ S   F → . n → d S = - ∬ C   F → . n → d S = 9 π

Resposta

9 π

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