Exercícios Resolvidos de Superfície Aberta

Encontre o fluxo do campo F → = e y + cos ⁡ y z i → + - 2 z y + sen ⁡ x z j → + z 2 + 3 2 k → através da superfície S , orientada positivamente, S = S 1 ∪ S 2 , onde S 1 :   z = 4 - 2 x 2 - y 2 , 0 ≤ z ≤ 2 e S 2 : z = 1 + x 2 + y 2 2 , 1 ≤ z ≤ 2 .

Passo 1

Vamos começar entendendo essas duas superfícies S 1 e S 2 , repara que vamos ter uma figura mais ou menos assim

Ele quer o fluxo dessa parada, ou seja, a integral dupla ao longo do campo F → , é interessante tentar aplicar teorema de Gauss aqui, isso porque essa função F é meio complicada e se fizermos uma conta rapidinha do divergente vamos ver que ele é 0 . O problema é que precisamos fechar essa superfície com S 3 que seria aquela elipse de S 1 quando z = 0

S 3 :   0 = 4 - 2 x 2 - y 2

S 3 :   2 x 2 + y 2 = 4

Vamos achar o divergente dessa função

d i v F → = ∂ F 1 ∂ x + ∂ F 2 ∂ y + ∂ F 3 ∂ z

d i v F → = 0 - 2 z + 2 z = 0

Então tudo se resume a achar o fluxo ao longo de S 3 que é bem mais fácil de resolver, vamos ver como ficar essa bagunça antes de qualquer coisa

∬ S ∪ S 3 F → ∙ n → d S = ∭ W d i v F → d W = 0

∬ S F → ∙ n → d S + ∬ S 3 F → ∙ n → d S = 0

Então tudo se resume a achar a integral de superfície ao longo de S 3 .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos entender essa superfície, repara que ele quer tudo orientado positivamente, ou seja é para fora desse solido que montamos, repara que S 3 está no plano x y isso nos diz que, orientando o vetor para fora, o vetor normal vai ser

n → = 0,0 , - 1

A integral de superfície vai ficar

∬ S 3 e y + cos ⁡ y z , - 2 z y + sen ⁡ x z , z 2 + 3 2 ∙ 0,0 , - 1 d S

- ∬ S 3 z 2 + 3 2 d S

Vale a pena lembrar também que em S 3 z = 0 , então a integral fica

- ∬ S 3 3 2 d S

- 3 2 ∬ S 3 d S = - 3 2 Á r e a   d a   E l i p s e

A área da elipse vai ser

A = a ∙ b ∙ π

Onde a e b são os eixos da elipse, lembra da equação dela?

2 x 2 + y 2 = 4

2 x 2 4 + y 2 4 = 1

x 2 2 + y 2 4 = 1

Então os eixos vão ser 2 e 2 , e a área vai ficar

A = 2 2 π

Isso nos diz que

∬ S 3 3 2 d S = - 3 2 2 2 π = - 6 π

Passo 3

A integral de superfície vai ser

∬ S F → ∙ n → d S + ∬ S 3 F → ∙ n → d S = 0

Substituindo o valor que achamos

∬ S F → ∙ n → d S - 6 π = 0

∬ S F → ∙ n → d S = 6 π

Resposta

6 π

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