Exercícios Resolvidos de Superfície Aberta

PUCRIO, Cálculo 3 - MAT1163, G3 - 2013.2, Questão 2b

Considere a superfície S que é a parte da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 4 que está dentro do cone y 2 = x 2 + z 2 com y 0 e com os vetores normais apontando para fora. Seja F x , y , z = x z   i + x y z   j - y 2   k ^ ^

, calcule:

I = S × F d S

Usando uma superfície apropriada

c) Determine o fluxo do campo vetorial G x , y , z = - y 2 + x i ^ + x j ^ + y z k ^ através de S

Passo 1

b )

A primeira coisa que você precisa olhar é que aquela integral pode ser vista como

S × F d S = S r o t F n d S

Beleza?

Temos que achar o r o t F

r o t F = i j k x y z x z x y z - y 2

r o t F = - 2 y i + x j + y z k - 0 k - 0 j - x y i

r o t F = - 2 y - x y i + x j + y z k

r o t F = - y 2 + x i + x j + y z k

Repara que

d i v r o t F = - y 2 + x x + x y + y z z

d i v r o t F = - y + 0 + y = 0

Então se aplicarmos o teorema de Gauss a integral tripla vai ser de 0 , resultando em 0 , mas não podemos sair aplicando o teorema de Gauss aqui porque a superfície não é fechada.

A superfície S é composta da parte da esfera dentro do cone. O limite é dado pela interseção das duas. Substituindo uma equação na outra:

x 2 + y 2 + z 2 = 4

x 2 + z 2 + y 2 = 4

y 2 + y 2 = 4

Vamos ter

2 y 2 = 4

y 2 = 2

y = 2

Só peguei o positivo porque ele disse no enunciado que y 0

Voltando para a equação da esfera

x 2 + 2 2 + z 2 = 4

x 2 + z 2 = 2

Isso é uma circunferência de raio 2 e centro em 0 , 2 , 0 isso porque temos que y = 2

Vamos pegar a superfície S 2 sendo essa circunferência, ou seja

S 2 : x 2 + z 2 2   e   y = 2

Agora podemos aplicar o teorema de Gauss em S S 2 vai ficar

S S 2 r o t F n d S = W d i v r o t F d W

Então vamos ter

S r o t F n d S + S 2 r o t F n d S = W 0 d W = 0

Basta fazermos a integral de superfície de S 2 que é muito mais fácil que aquela esfera.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

A parametrização do círculo vai ser

φ ρ , θ = ρ cos θ , 2 , ρ sen θ

Com

θ 0,2 π

ρ 0 , 2

Temos que achar o vetor normal a essa superfície apontando para fora de W , isso vai ser apontando para y negativo.

O vetor normal é igual a:

φ ρ × φ θ = i j k cos θ 0 sen θ - ρ sen θ 0 ρ cos θ

0 i + - ρ sen θ sen θ j + 0 k - 0 k - ρ cos θ cos θ j - 0 k

- ρ sen 2 θ - ρ cos 2 θ j

- ρ j

Passo 3

Vamos para a integral de superfície

S 2 r o t F n d S = 0 2 π 0 2 - 2 2 + ρ cos θ , ρ cos θ , 2 ρ sen θ 0 , - ρ , 0 d ρ d θ

0 2 π 0 2 - ρ 2 cos θ d ρ d θ

0 2 π - ρ 3 3 ρ = 0 2 cos θ d θ

0 2 π - 2 3 3 - - 0 3 3 cos θ d θ

0 2 π - 2 2 3 cos θ d θ

- 2 2 3 sen θ θ = 0 2 π

- 2 2 3 sen 2 π - sen 0

- 2 2 3 0 - 0

0

Passo 4

Isso tudo nos diz que

S r o t F n d S + S 2 r o t F n d S = 0

S r o t F n d S + 0 = 0

S r o t F n d S = 0

Passo 5

c )

Repara que G x , y , z = r o t F então o fluxo vai ser

ϕ = S G n d S = S r o t F n d S

Como já vimos aquela integral vai dar 0 então

ϕ = 0

Resposta

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