Exercícios Resolvidos de Superfície Aberta

Integral de superfície – Caso vetorial, Teorema de Stokes, Teorema de Gauss

Considere a superfície S que é a parte da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 4 que está dentro do cone y 2 = x 2 + z 2 com y ≥ 0 e com os vetores normais apontando para fora. Seja F x , y , z = x z   i → + x y z   j → - y 2   k → ^ ^

, calcule:

I = ∬ S ∇ × F ∙ d S

Usando uma superfície apropriada

c) Determine o fluxo do campo vetorial G x , y , z = - y 2 + x i ^ + x j ^ + y z k ^ através de S

Passo 1

b )

A primeira coisa que você precisa olhar é que aquela integral pode ser vista como

∬ S ∇ × F ∙ d S = ∬ S r o t F → ∙ n → d S

Beleza?

Temos que achar o r o t F →

r o t F → = i j k ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z x z x y z - y 2

r o t F → = - 2 y i + x j + y z k - 0 k - 0 j - x y i

r o t F → = - 2 y - x y i + x j + y z k

r o t F → = - y 2 + x i + x j + y z k

Repara que

d i v r o t F → = ∂ - y 2 + x ∂ x + ∂ x ∂ y + ∂ y z ∂ z

d i v r o t F → = - y + 0 + y = 0

Então se aplicarmos o teorema de Gauss a integral tripla vai ser de 0 , resultando em 0 , mas não podemos sair aplicando o teorema de Gauss aqui porque a superfície não é fechada.

A superfície S é composta da parte da esfera dentro do cone. O limite é dado pela interseção das duas. Substituindo uma equação na outra:

x 2 + y 2 + z 2 = 4

x 2 + z 2 + y 2 = 4

y 2 + y 2 = 4

Vamos ter

2 y 2 = 4

y 2 = 2

y = 2

Só peguei o positivo porque ele disse no enunciado que y ≥ 0

Voltando para a equação da esfera

x 2 + 2 2 + z 2 = 4

x 2 + z 2 = 2

Isso é uma circunferência de raio 2 e centro em 0 , 2 , 0 isso porque temos que y = 2

Vamos pegar a superfície S 2 sendo essa circunferência, ou seja

S 2 : x 2 + z 2 ≤ 2   e   y = 2

Agora podemos aplicar o teorema de Gauss em S ∪ S 2 vai ficar

∬ S ∪ S 2 r o t F → ∙ n → d S = ∭ W d i v r o t F → d W

Então vamos ter

∬ S r o t F → ∙ n → d S + ∬ S 2 r o t F → ∙ n → d S = ∭ W 0 d W = 0

Basta fazermos a integral de superfície de S 2 que é muito mais fácil que aquela esfera.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

A parametrização do círculo vai ser

φ ρ , θ = ρ cos ⁡ θ , 2 , ρ sen ⁡ θ

Com

θ ∈ 0,2 π

ρ ∈ 0 , 2

Temos que achar o vetor normal a essa superfície apontando para fora de W , isso vai ser apontando para y negativo.

O vetor normal é igual a:

∂ φ ∂ ρ × ∂ φ ∂ θ = i j k cos ⁡ θ 0 sen ⁡ θ - ρ sen ⁡ θ 0 ρ cos ⁡ θ

⇒ 0 i + - ρ sen ⁡ θ sen ⁡ θ j + 0 k - 0 k - ρ cos ⁡ θ cos ⁡ θ j - 0 k

⇒ - ρ sen 2 ⁡ θ - ρ cos 2 ⁡ θ j

⇒ - ρ j

Passo 3

Vamos para a integral de superfície

∬ S 2 r o t F → ∙ n → d S = ∫ 0 2 π ∫ 0 2 - 2 2 + ρ cos ⁡ θ , ρ cos ⁡ θ , 2 ρ sen ⁡ θ ∙ 0 , - ρ , 0 d ρ d θ

⇒ ∫ 0 2 π ∫ 0 2 - ρ 2 cos ⁡ θ d ρ d θ

⇒ ∫ 0 2 π - ρ 3 3 ρ = 0 2 cos ⁡ θ d θ

⇒ ∫ 0 2 π - 2 3 3 - - 0 3 3 cos ⁡ θ d θ

⇒ ∫ 0 2 π - 2 2 3 cos ⁡ θ d θ

⇒ - 2 2 3 sen ⁡ θ θ = 0 2 π

⇒ - 2 2 3 sen ⁡ 2 π - sen ⁡ 0

⇒ - 2 2 3 0 - 0

⇒ 0

Passo 4

Isso tudo nos diz que

∬ S r o t F → ∙ n → d S + ∬ S 2 r o t F → ∙ n → d S = 0

∬ S r o t F → ∙ n → d S + 0 = 0

∬ S r o t F → ∙ n → d S = 0

Passo 5

c )

Repara que G x , y , z = r o t F → então o fluxo vai ser

ϕ = ∬ S G → ∙ n → d S = ∬ S r o t F → ∙ n → d S

Como já vimos aquela integral vai dar 0 então

ϕ = 0

Resposta

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