Exercícios Resolvidos de Superfície Aberta

Calcule ∬ S r o t F → ∙ n → d S , sendo F → x , y , z = x 2 y + 2 i → + x 3 + y 4 j → + 2 y z - 1 k → e S a parte da esfera x 2 + y 2 + z 2 - 4 z = 0 , com z ≤ 1 , orientada com n → exterior.

Passo 1

Vamos começar entendo como é essa esfera

x 2 + y 2 + z 2 - 4 z + 4 = 4

x 2 + y 2 + z - 2 2 = 4

Temos uma esfera de centro 0,0 , 2 e raio 2 . A integral que ele quer é

∬ S r o t F → ∙ n → d S

Vamos achar o rotacional dessa função F

r o t F → = i j k ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z x 2 y + 2 x 3 + y 4 2 y z - 1

r o t F → = 2 z i + 0 j + 3 x 2 k - x 2 k - 0 j - 0 i

r o t F → = 2 z i + 0 j + 2 x 2 k = 2 z , 0,2 x 2

Repara que se pegarmos o divergente desse rotacional ele vai dar 0 , então fica interessante aplicar o teorema de Gauss, o detalhe é que teremos que fechar essa região, vamos pegar o circulo

x 2 + y 2 + 1 - 2 2 = 4

Isso porque esse vai ser o círculo quando z = 1 , se fizermos ele como S 2 e a parte da esfera como S vamos ter a calota da esfera tampada e vamos poder aplicar o teorema de Gauss sem problemas.

S ' = S ∪ S 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Aplicando o teorema de Gauss vamos ter

∬ S ' r o t F → ∙ n → d S = ∭ W d i v r o t F → d W

Assim vamos ter

∬ S ' r o t F → ∙ n → d S = ∭ W 0 d W

∬ S ' r o t F → ∙ n → d S = 0

∬ S r o t F → ∙ n → d S + ∬ S 2 r o t F → ∙ n → d S = 0

Vamos precisar só calcular a integral dupla ao longo de S 2

Passo 3

Vamos começar achando o vetor normal a essa superfície

Como ela está no plano z = 1 o vetor normal apontando para fora vai ser

n → = 0,0 , 1

∬ S 2 r o t F → ∙ n → d S = ∬ S 2 2 z , 0,2 x 2 ∙ 0,0 , 1 d S = ∬ S 2 2 x 2 d S

Com

S 2 : x 2 + y 2 + 1 ≤ 4

S 2 : x 2 + y 2 ≤ 3

Vamos usar coordenadas cilíndricas nesse cara

x = r cos ⁡ θ

y = r sen ⁡ θ

J = r

E vamos ter

r ∈ 0 , 3

θ ∈ 0,2 π

Passo 4

A nossa integral vai ficar

∫ 0 2 π ∫ 0 3 2 r cos ⁡ θ 2 r d r d θ

⇒ ∫ 0 2 π ∫ 0 3 2 r 2 cos 2 ⁡ θ r d r d θ

⇒ ∫ 0 2 π ∫ 0 3 2 r 3 cos 2 ⁡ θ d r d θ

⇒ ∫ 0 2 π 2 r 4 4 r = 0 3 cos 2 ⁡ θ d θ

⇒ ∫ 0 2 π r 4 2 r = 0 3 cos 2 ⁡ θ d θ

⇒ ∫ 0 2 π 3 4 2 - 0 4 2 cos 2 ⁡ θ d θ

⇒ ∫ 0 2 π 9 2 - 0 cos 2 ⁡ θ d θ

⇒ 9 2 ∫ 0 2 π cos 2 ⁡ θ d θ

Lembrando que

cos 2 ⁡ θ = 1 + cos ⁡ 2 θ 2

Vamos ter

⇒ 9 2 ∫ 0 2 π 1 + cos ⁡ 2 θ 2 d θ

⇒ 9 2 θ 2 + sen ⁡ 2 θ 4 θ = 0 2 π

⇒ 9 2 2 π 2 + sen ⁡ 2 ∙ 2 π 4 - 0 2 + sen ⁡ 2 ∙ 0 4

⇒ 9 2 π + sen ⁡ 4 π 4 - 0 + sen ⁡ 0 4

⇒ 9 2 π + 0 - 0 + 0

⇒ 9 π 2

Passo 5

Voltando as integrais de superfície

∬ S r o t F → ∙ n → d S + ∬ S 2 r o t F → ∙ n → d S = 0

Substituindo o valor que nos achamos

∬ S r o t F → ∙ n → d S + 9 π 2 = 0

∬ S r o t F → ∙ n → d S = - 9 π 2

Resposta

- 9 π 2

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