Exercícios Resolvidos de Superfície Aberta

Seja S a parte da superfície z = 1 - 4 x 2 - y 2 limitada pelo plano z = 0 e orientada pela normal unitária N → tal que N → 0,0 , 1 = k → . Se F → x , y , z = - y , x , a r c t g e x + y + z , então o valor de ∫ ∫ S ( r o t   F → ) ⋅ N → d σ é:

a) - 3 π

b) 4 π

c) 2 π

d)   π

e) - 2 π

Passo 1

Cara, a gente tem uma superfície com vetor normal externo, já que o paraboloide está virado para baixo, e seu vetor normal no ponto 0,0 , 1 (cume do paraboloide) está virado para cima N → 0,0 , 1 = k → .

E ele dá um campo vetorial bem feio e uma integral de superfície para a gente calcular. Essas são dicas para gente calcular essa integral usando o teorema de Gauss!

Vamos começar calculando o divergente de F → para saber se nossa ideia é boa mesmo. Olha que legal. Queremos calcular

∫ ∫ S ( r o t   F → ) ⋅ N → d σ

Então para usar Gauss para essa integral vetorial, vamos ter que tirar o divergente do campo que está no seu integrando. Que campo é? O rotacional de F → ! Então precisamos calcular:

d i v r o t   F →

E aí a gente lembra de uma propriedade interessante: o divergente do rotacional é sempre nulo:

d i v r o t   F → = 0

Outra dica de que podemos usar Gauss. Vamos lá!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Cara, Gauss tem umas condições para aplicar. Duas delas já atendemos:

- nosso campo está bem definido em todo x , y , z (já que não temos nenhuma restrição no domínio, tipo um denominador que pode zerar).

- o vetor normal ao paraboloide aponta para fora dele.

Maaas, a gente não atende um critério muito importante: o paraboloide não é uma superfície fechada. Precisamos usar superfície fechada para Gauss.

O que a gente faz? Chora? Não! A gente vai fechar esse paraboloide. Com um plano em formato de elipse, porque planos são simples. Aí a nossa superfície geral vai ser o paraboloide e esse plano, beleza?

Podemos parametrizar esse plano como:

ϕ x , y = x , y , 0

A componente dele em z é nula porque ele está em z = 0 no espaço.

Repara que o nosso plano, para fechar a essa superfície, precisa ter o formato da interseção do paraboloide com o plano x y , certo? A equação dela é:

z = 1 - 4 x 2 - y 2 ∴ 0 = 1 - 4 x 2 - y 2 ∴ 1 = 4 x 2 + y 2

Ou seja, uma elipse. Nosso plano vai estar dentro dessa curva. Então a gente pode dizer que o domínio dele é:

D : 4 x 2 + y 2 ≤ 1

Passo 3

Agora vamos montar nossa equação pelo teorema de Gauss. Ele diz que:

∫ ∫ δ W F ⋅ N   d s = ∫ ∫ ∫ W d i v   F d V

Esse δ W é uma superfície fechada. No nosso caso, a superfície fechada é a soma de duas superfícies. A o paraboloide e o nosso plano ϕ .

E em vez de F → , temos na nossa integral de superfície r o t   F → . Então a gente pode reescrever essa parte assim:

∫ ∫ S r o t   F → ⋅ N   d s + ∫ ∫ ϕ r o t   F → ⋅ N   d s = ∫ ∫ ∫ W d i v   F d V

Lembra que nosso divergente deu 0:

∫ ∫ S r o t   F → ⋅ N   d s + ∫ ∫ ϕ r o t   F → ⋅ N   d s = 0

Então isolamos quem a gente quer achar:

∫ ∫ S r o t   F → ⋅ N   d s = - ∫ ∫ ϕ r o t   F → ⋅ N   d s

Só falta calcular essa integral de superfície sobre o plano. Então vamos focar nela!

Passo 4

A nossa parametrização do plano é:

ϕ x , y = x , y , 0

D : 4 x 2 + y 2 ≤ 1

Esse vai ser o domínio da nossa integral.

A gente precisa começar achando o vetor normal a esse plano. Mas repara que esse plano está dentro de x y . O vetor normal a todo o x y é o vetor N → = 0,0 , 1 , que é o sentido do eixo z , certo?

Então esse vai ser o nosso vetor? Cara, ele com certeza é normal a nossa superfície, mas ele está apontando para fora do paraboloide? Olha ele:

Ele está apontando para dentro do paraboloide. Para apontar para fora, ele precisa estar apontando no sentido oposto. Então só vamos multiplicar ele por - 1 :

N → = 0,0 , - 1

Passo 5

O campo é aquele estranho né:

F x , y , z = - y , x , a r c t g e x + y + z

Mas quem a gente quer na integral é o rotacional desse campo. Você pode pensar o quão triste vai ser calcular ele. Mas calma! Tem um jeito mais fácil de passarmos por isso. Segura na minha mão.

Imagina que a gente vai dar valores genéricos para as componentes do rotacional:

r o t   F → = R 1 , R 2 , R 3

Aí o nosso integrando fica:

r o t   F → ⋅ N = R 1 , R 2 , R 3 ⋅ 0,0 , - 1 = - R 3

Isso significa que a gente só precisa da componente z do rotacional. E ela vale:

r o t   F → = i ^ j ^ k ^ ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z - y x a r c t g e x + y + z

r o t   F → = ∂ a r c t g e x + y + z ∂ y - ∂ x ∂ z i ^ - ∂ a r c t g e x + y + z ∂ x - ∂ - y ∂ z j ^ + ∂ x ∂ x - ∂ - y ∂ y k ^

R 3 = ∂ x ∂ x - ∂ - y ∂ y = 2

Lembrando que o domínio da integral é o domínio da parametrização do plano, nossa integral fica assim:

∫ ∫ ϕ r o t   F → ⋅ N   d s = ∫ ∫ 4 x 2 + y 2 ≤ 1 - R 3 d x d y = ∫ ∫ 4 x 2 + y 2 ≤ 1 - 2 d x d y

Passo 6

Nossa integral ficou assim:

∫ ∫ ϕ r o t   F → ⋅ N   d s = - 2 ∫ ∫ 4 x 2 + y 2 ≤ 1 1 d x d y

A integral dupla sobre essa elipse vai ser igual a área da elipse! Isso porque o argumento dela é 1 .

4 x 2 + y 2 ≤ 1 ∴ x 2 1 4 + y 2 ≤ 1 ∴ x 2 1 2 2 + y 2 ≤ 1

Como a área da elipse é a b π , e a nossa elipse tem semieixos a = 1 / 2 e b = 1 . Podemos dizer que

∫ ∫ ϕ r o t   F → ⋅ N   d s = - 2 ⋅ 1 2 ⋅ 1 ⋅ π

Voltando para Gauss:

∫ ∫ S r o t   F → ⋅ N   d s = - ∫ ∫ ϕ r o t   F → ⋅ N   d s

∫ ∫ S r o t   F → ⋅ N   d s = - - π

∫ ∫ S r o t   F → ⋅ N   d s = π

Resposta

Letra d

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