Exercícios Resolvidos de Superfície Aberta

Teorema de Gauss

Seja S a porção da esfera: x 2 + y 2 + z 2 = 1

Compreendida entre os planos z = 0 e z = y , com y ≥ 0 . Calcular: K = ∬ S   F ∙ n →   d S

Onde n → é a normal unitária a S cuja terceira coordenada é sempre positiva e F é definido por:

F = ln ⁡ 1 + y 2 2 + cos ⁡ z , 1,2 z

Passo 1

É claro que se trata de uma questão de Teorema de Gauss pois a expressão do campo vetorial é complicada demais para se fazer a integral de superfície. Aplicando:

∬ S   F ∙ n →   d S = ∭ W   d i v ( F ) d x d y d z

Onde a superfície S deve encerrar o volume W . Dessa forma, temos a superfície composta pela porção da esfera e dois planos, o z = 0 e o z = y :

S = E ∪ P 1 ∪ P 2

Calculando o divergente:

d i v F = 2

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Passo 2

Substituindo na fórmula:

∬ S   F ∙ n →   d S = ∭ W   2   d x d y d z

Agora precisamos enxergar nossa região W . Fazendo um corte da esfera em y z , obtemos um círculo de raio 1 e a reta z = y .

Podemos ver que a região em questão é um oitavo da esfera, portanto:

∬ S   F ∙ n →   d S = 2 ∭ W   d x d y d z

∬ S   F ∙ n →   d S = 2 × 1 8 4 3 π × 1 3

∬ S   F ∙ n →   d S = π 3

Passo 3

Agora precisamos separar a integral da região S para calcularmos o fluxo que queremos. Temos que, como:

S = E ∪ P 1 ∪ P 2

É válida a relação:

∬ S   F ∙ n →   d S = ∬ E   F ∙ n →   d S + ∬ P 1   F ∙ n →   d S + ∬ P 2   F ∙ n →   d S

Como o que é pedido pelo enunciado é o fluxo pela porção da esfera, então vamos calcular os outros dois e isolar este. Vamos encontrar os conjuntos que representam os planos. Temos que para o primeiro:

z = 0

Substituindo na equação da esfera, temos a fronteira da região:

x 2 + y 2 + 0 2 = 1

x 2 + y 2 = 1

Portanto, aliado ao fato de que y ≥ 0 , temos o conjunto do primeiro plano:

P 1 = x , y , z ∈ R 3 x 2 + y 2 ≤ 1 ,     z = 0 ,     y ≥ 0

Que é um semicírculo no plano x y né? Então dá pra gente ver que a normal dele vai estar na direção z ! E com o sentido - z pra termos S orientada do jeito que ele pede no enunciado:

n → = ( 0,0 , - 1 )

Então:

∬ P 1   F ∙ n →   d S = ∬ P 1   … , … , 2 × 0 ∙ 0,0 , - 1   d S

∬ P 1   F ∙ n →   d S = 0

Note que as componentes x e y do campo vetorial não importam pois o vetor normal as zeraria.

Passo 4

Fazendo a mesma lógica para o segundo plano, temos que:

z = y

Substituindo na equação da esfera, temos a fronteira da região:

x 2 + y 2 + y 2 = 1

x 2 + 2 y 2 = 1

Logo, podemos parametrizar o segundo plano de forma explícita como abaixo

φ x , y = { x , y , y , x , y ∈ x 2 + 2 y 2 ≤ 1 ( D ) }

Então, os vetores normais serão do tipo

z - y = 0 → n → = 0 , - 1,1

Pode conferir que ele aponta para fora do sólido, conforme exigido no enunciado:

Por fim fazemos a maldita conta, não esquecendo de substituir a condição z = y :

∬ P 1   F ∙ n →   d S = ∬ D   ( … , 1,2 y ) ∙ 0 , - 1,1   d x d y

Que segue:

∬ D   ( 2 y - 1 ) d x d y

E agora nos resta uma conta chata em coordenadas polares.

Passo 5

Agora para fazer a integral dupla, vamos passar para coordenadas polares

x = r cos ⁡ θ

y = 2 2 r sen ⁡ θ

J = 2 2 r

De onde tiramos o novo domínio em coordenadas polares:

r 2 ≤ 1 → 0 ≤ r ≤ 1

y ≥ 0 → 2 2 r sen ⁡ θ ≥ 0 → sen ⁡ θ ≥ 0

0 ≤ θ ≤ π

Passo 6

Substituindo tudo, junto com o domínio e etc:

2 2 ∫ 0 π ∫ 0 1 2 r sen ⁡ θ - 1 r d r d θ

Agora é papo de fazer conta:

2 2 ∫ 0 π 2 3 sen ⁡ θ - 1 2 d θ

2 2 2 2 3 - π 2

Logo, temos que:

∬ S   F ∙ n →   d S = ∬ E   F ∙ n →   d S + ∬ P 1   F ∙ n →   d S + ∬ P 2   F ∙ n →   d S

Basta substituir todos os valores:

π 3 = ∬ E   F ∙ n →   d S + 0 + 2 2 2 2 3 - π 2

Isolando:

∬ E   F ∙ n →   d S = π 3 - 2 2 2 2 3 - π 2

Voilá! Chato. Mas faz parte, né...

Resposta

∬ E   F ∙ n →   d S = π 3 - 2 2 2 2 3 - π 2

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