Exercícios Resolvidos de Superfície Aberta

Questão 3:

Seja S a superfície regular por partes. S = S 1 ∪ S 2 , onde S 1 é o pedaço do cilindro de equação implícita x 2 + y 2 = 4 acima do plano z = y e abaixo do plano z = 4 , e S 2 é o pedaço do cilindro de equação implícita x 2 + z 2 = 4 abaixo do plano z = y e com y ≤ 4 . Consideremos a orientação de S tal que o campo de vetores normal unitário aponta para fora dos cilindros.

Seja o campo espacial

F = e y cos ⁡ z ,   x y ,   10 z ,     x ,   y ,   z ∈ R 3

  1. Faça um esboço de S (Dica: esboce o eixo y apontado para a direita).
  2. Calcule o fluxo de F através de S (Dica: Feche S com duas tampas e aplique o teorema de Gauss).

Passo 1

a )

Parece uma superfície super chata para esboçar, neh? Mas quer uma dica, abstrai as informações primeiro. Olha só, sabemos que o cilindro de raio dois e centrado em z ... x 2 + y 2 = 4 , faz parte da superfície...

Outro cilindro que também faz parte de S é o que também tem raio 2 , porém esse está deitado ao redor de y , x 2 + z 2 = 4 ...

Repare que pelo fato desses dois cilindros terem o mesmo raio, ambos se intercedem um ao outro, como se um estivesse dentro do outro.

Agora, uma outra superfície que também entra na brincadeira é o z = y ... Um plano paralelo ao eixo x e que não por coincidência corta esses dois cilindros justamente nessa diagonal aqui oh:

Eu disse que não por coincidência, afinal se fizermos a intercessão matemática dos dois cilindros, ou seja, resolver o sisteminha...

x 2 + y 2 = 4 x 2 + z 2 = 4               ⇒               y 2 = z 2         o   q u e   a c o n t e c e   q u a n d o         z = y

Sacou? No caso a superfície S então é esta daí de cima, já que o cilindro de cima está acima desse plano, e o cilindro deitado abaixo, é...

Percebeu?

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Passo 2

b )

Bem, um fluxo de um campo vetorial por uma superfície S é dado por uma integral de superfície. Assim...

F l u x o = ∬ S   F → ⋅ n → d S

Porém, calcular essa integral de linha como está aí vai ser muito complicado, pois o campo não é muito simpático com a gente. Por isso, a ideia é justamente seguir a dica e aplicar o teorema de Gauss.

Mas mesmo assim, para termos certeza de que estamos no caminho certo aplicando o Teorema de Gauss, sempre é aconselhável que calculemos o diverte primeiro. Então bora?

Passo 3

d i v F → = ∂ F 1 ∂ x + ∂ F 2 ∂ y + ∂ F 3 ∂ z

Como o campo...

F = e y cos ⁡ z ⏟ F 1 ,   x y ⏟ F 2 ,   10 z ⏟ F 3

Calculando essas derivadas parciais...

d i v F → = ∂ F 1 ��� x + ∂ F 2 ∂ y + ∂ F 3 ∂ z

d i v F → = 0 + x + 10

d i v F → = x + 10

Com um divergente simples desses, sim! Vamos de fato aplicar Gauss... Após, é claro, que observarmos se estamos em suas condições .

Passo 4

De acordo com o teorema de Gauss, precisamos:

1º - Uma região W delimitada por uma superfície fechada ∂ W .

2º - Uma superfície orientada positivamente.

3º - Um campo F sem singularidades.

Passo 5

Bem, o sólido que estamos trabalhando...

Não é fechado, mas de acordo com a dica, podemos fechar tampando esses dois buracos com duas superfícies circulares que chamaremos de S 1 e S 2 ...

Assim, a borda da região fechada W é S ∪ S 1 ∪ S 2 .

Passo 6

Precisamos de superfícies orientadas positivamente, ou seja, com o vetor saindo do sólido W . Isso já acontece lá do enunciado para a superfície S ...

Para as superfícies que adicionamos, basta colocar...

Passo 7

Precisamos também de um campo sem singularidades onde estamos trabalhando. Se olharmos para o campo vetorial...

F = e y cos ⁡ z ,   x y ,   10 z

Como não temos nenhum problema de definição em nenhum ponto, como uma divisão por zero ou algo assim, o campo está ok.

Passo 8

Nas condições do Teorema, podemos aplicar a igualdade de Gauss:

∬ ∂ W   F → ⋅ n → d S = ∭ W   d i v F →   d V

Bem, como já vimos, a borda do sólido fechado W é S ∪ S 1 ∪ S 2 ...

∬ S   F → ⋅ n → d S + ∬ S 1   F → ⋅ n → d S + ∬ S 2   F → ⋅ n → d S = ∭ W   d i v F →   d V

Como queremos a integral de superfície em cima de S (os cilindros), isolemos...

∬ S   F → ⋅ n → d S = ∭ W   d i v F →   d V - ∬ S 1   F → ⋅ n → d S - ∬ S 2   F → ⋅ n → d S

Se queremos a integral de superfície em cima S , basta calcular essas três integrais e matar o problema (embora pareça que estamos ficando maluco por fazer três integrais ao invés de uma de superfície, ainda é o processo mais rápido, vai por mim ). Bora lá?

Passo 9

Vamos começar pela integral tripla...

∭ W   d i v F →   d V =

∭ W   x + 10   d V

Precisamos descrever o sólido W para substituir aí. Como temos dois cilindros, vamos ter que separar essa integral tripla em duas...

∭ W   x + 10   d V = ∭ W 1   x + 10   d V + ∭ W 2   x + 10   d V

Onde o W 1 representa o cilindro acima do plano z = y enquanto que o W 2 o cilindro deitado abaixo de z = y , saca?

Passo 10

Para a primeira integral, em cima de W 1 , como estamos usando um cilindro, podemos usar as coordenadas cilíndricas...

x = r cos ⁡ θ

y = r sin ⁡ θ

z = z

J = r

Onde o θ , varia ao redor do eixo z , portanto ele deve dar uma volta completa...

0 ≤ θ ≤ 2 π

Enquanto o r , ele deve variar de 0 até o raio máximo que é o raio do cilindro vermelho...

0 ≤ r ≤ 2

Já o z , bem, ele está saindo do plano z = y e indo até o limite máximo que é z = 4 ...

y ≤ z ≤ 4   →

r sin ⁡ �� ≤ z ≤ 4

Assim

∭ W 1   x + 10   d V = ∫ 0 2 π ∫ 0 2 ∫ r sin ⁡ θ 4 r cos ⁡ θ + 10 ⋅ J   d z d r d θ =

∫ 0 2 π ∫ 0 2 ∫ r sin ⁡ θ 4 r 2 cos ⁡ θ + 10 r   d z d r d θ = ∫ 0 2 π ∫ 0 2 r 2 cos ⁡ θ + 10 r ∫ r sin ⁡ θ 4   d z d r d θ =

∫ 0 2 π ∫ 0 2 r 2 cos ⁡ θ + 10 r 4 - r sin ⁡ θ d r d θ =

∫ 0 2 π ∫ 0 2 4 r 2 cos ⁡ θ + 40 r - r 3 cos ⁡ θ sin ⁡ θ - 10 r 2 sin ⁡ θ d r d θ =

∫ 0 2 π 4 r 3 3 cos ⁡ θ + 40 r 2 2 - r 4 4 cos ⁡ θ sin ⁡ θ - 10 r 3 3 sin ⁡ θ 0 2 d θ =

Substituindo os limites de integração em r ...

∫ 0 2 π 32 3 cos ⁡ θ + 80 - 4 cos ⁡ θ sin ⁡ θ - 80 3 sin ⁡ θ d θ

Como 2 cos ⁡ θ sin ⁡ θ = sin ⁡ 2 θ ...

∫ 0 2 π 32 3 cos ⁡ θ + 80 - 2 sin ⁡ 2 θ - 80 3 sin ⁡ θ d θ =

32 3 sin ⁡ θ + 80 θ + cos ⁡ 2 θ + 80 3 cos ⁡ θ 0 2 π =

160 π

Passo 11

Calculando a segunda integral tripla...

∭ W 2   x + 10   d V

Primeiro precisamos mudar para coordenadas no caso cilíndricas também, só que...

x = r cos ⁡ θ

y = y

z = r sin ⁡ θ

J = r

θ também dá uma volta completa ao redor do y aqui...

0 ≤ θ ≤ 2 π

O r ...

0 ≤ r ≤ 2

Enquanto que o y varia de z = y ao y = 4 ...

r sin ⁡ θ ≤ y ≤ 4

Montando a integral tripla...

∭ W 2   x + 10   d V = ∫ 0 2 π ∫ 0 2 ∫ r sin ⁡ θ 4 r cos ⁡ θ + 10 ⋅ J   d y d r d θ

Hey, é a mesma integral, a única diferença era no nome da variável de dentro. Isso não interfere no resultado, então...

∭ W 2   x + 10   d V = 160 π

E como a integral...

∭ W   x + 10   d V = ∭ W 1   x + 10   d V + ∭ W 2   x + 10   d V

∭ W   x + 10   d V = 160 π + 160 π = 320 π

Sacou?

Passo 12

Agora calculemos a integral de superfície em cima de S 1 ...

∬ S 1   F → ⋅ n → d S

Bem, parametrizando S 1 , por estar em cima de um plano z = 4 ...

σ x ,   y = x ,   y ,   4

Onde os limites de x e y estão dentro do cilindro de equação x 2 + y 2 = 4 .

Como o vetor normal unitário desse plano é...

n → = 0 ,   0 ,   1

Pois ele está pra cima, a integral de superfície fica...

∬ S 1   F → ⋅ n → d S = ∬ S 1   e y cos ⁡ 4 ,   x y ,   10 �� 4 0 ,   0 ,   1 d S =

40 ∬ S 1   d S

Como a integral de 1   d S é a área da superfície que nesse caso é um círculo de raio 2 ...

∬ S 1   F → ⋅ n → d S = 40 π 2 2 = 160 π

Passo 13

Calculando a outra integral de superfície e não morra de tédio kkkkk

∬ S 2   F → ⋅ n → d S

Nesse daqui, infelizmente não tem como de usarmos o que usamos não, pois o vetor unitário na direção de y é 0 ,   1 ,   0 e quando fizermos o produto com F → , não vai dar uma constante. Então teremos de fazer do jeito clássico, ou seja, primeiro parametrizar a superfície...

Como estamos em cima de um plano y x ,   z = 4

σ 2 x ,   z = x ,   4 ,   z

Onde x e z variam dentro do cilindro x 2 + z 2 = 4 .

Para encontrar n → d S ...

n → d S = N →   d x d y

O vetor normal pode ser encontrado pelo Bizu, já que parametrizamos como gráfico de função...

N → = - ∂ y ∂ x ,   1 ,   - ∂ y ∂ z = 0 ,   1 ,   0

Substituindo os termos no campo F → ...

e 4 cos ⁡ z ,   4 x ,   10 z

Jogando essa três coisas na integral de superfície...

∬ S 2   F → ⋅ n → d S = ∬ D   e 4 cos ⁡ z ,   4 x ,   10 z 0 ,   1 ,   0 d x d z =

∬ D   4 x   d x d z

Usando coordenadas polares...

x = r cos ⁡ θ

y = r sin ⁡ θ