Exercícios Resolvidos de Superfície Aberta

Seja S a parte do paraboloide z = 9 - x 2 - y 2   com 0 ≤ z ≤ 5 , orientada pela normal unitária N → tal que N → ⋅ k → ≥ 0 e F → x , y , z = ( 0 , Q x , y , z , 0 ) um campo vetorial de classe C 1 , definido em um aberto que contenha S . Considere as afirmações:

(I) ∫ ∫ S F → ⋅ N → d σ = ∫ - 3 3 ∫ - 9 - x 2 9 - x 2 ∫ 0 9 - x 2 - y 2 d i v   F → d z d y d x .

(II) ∫ ∫ S r o t   F → ⋅ N → d σ = 3   ∫ 0 2 π Q 3 cos ⁡ t ,   3   s e n   t ,   0 cos ⁡ t d t .

(III) ∫ ∫ S r o t   F → ⋅ N → d σ = 2 ∫ 0 2 π Q 2 cos ⁡ t ,   2   s e n   t ,   5 cos ⁡ t d t + 3   ∫ 0 2 π Q 3 cos ⁡ t ,   3   s e n   t ,   0 cos ⁡ t d t .

Nessas condições, podemos afirmar que:

a) nenhuma das afirmações é verdadeira para todo campo F → .

b) apenas as afirmações (I) e (II) são verdadeiras para todo campo F → .

c) apenas as afirmações (II) e (III) são verdadeiras para todo campo F → .

d) apenas a afirmação (III) é verdadeira para todo campo F → .

e) todas as afirmações são verdadeiras para todo campo F → .

Passo 1

Vamos entender primeiro o que o enunciado quer nos dizer, beleza? Ele começa falando de S , o paraboloide virado para baixo, mas cortado em z = 0 e z = 5 . Ele só existe entre esses dois valores. Olha num gráfico, ele só existe entre essas duas curvas azuis:

E ele diz que N → ⋅ k → ≥ 0 , isso quer dizer que o vetor normal a esse paraboloide aponta para cima (componente z positiva). Já que a superfície está virada para baixo, esse vetor normal aponta pra fora da superfície.

Aí ele fala de F → = 0 , Q x , y , z , 0 , um campo bem definido no espaço onde está S .

Agora que a gente tem a visão geral das coisas, vamos entrar nos itens. Vem comigo!

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Passo 2

(I) Ele diz que

∫ ∫ S F → ⋅ N → d σ = ∫ - 3 3 ∫ - 9 - x 2 9 - x 2 ∫ 0 9 - x 2 - y 2 d i v   F → d z d y d x

Cara, ele está relacionando uma integral tripla de um d i v   F → com uma integral de superfície. Quem pode fazer isso para gente? Aquele teorema que relaciona uma integral tripla, tendo um volume como domínio, com uma integral de superfície, o teorema de Gauss!

E o que esse bonito diz:

∫ ∫ S F ⋅ N d s = ∫ ∫ ∫ W d i v   F d V

Sendo que S deve ser uma superfície fechada e W o espaço dentro dessa superfície.

Repara que na integral tripla desse item, esses extremos de integração descrevem o espaço dentro do paraboloide. Os extremos

- 3 ≤ x ≤ 3 ,     - 9 - x 2 ≤ y ≤ 9 - x 2

Representam a parte de dentro de uma circunferência de raio 3 , que é a projeção do paraboloide em x y . Mas repara que o extremo de d z diz isso:

0 ≤ z ≤ 9 - x 2 - y 2

Isso representa todo o espaço do eixo z entre z = 0 e o pico do paraboloide (que fica em z = 9 ), mas o nosso paraboloide só vai até z = 5 . Então ele nem está descrevendo nosso S mesmo.

E lembra que nosso paraboloide é uma superfície aberta? A gente nem consegue usar Gauss nele assim diretão. Precisamos colocar dois planos aí no teorema para fecharmos nosso paraboloide em cima e embaixo.

Vemos que esse item viajou então, está tudo errado.

Passo 3

(II) Esse segundo item diz que

∫ ∫ S r o t   F → ⋅ N → d σ = 3   ∫ 0 2 π Q 3 cos ⁡ t ,   3   s e n   t ,   0 cos ⁡ t d t

Ele está relacionando uma integral de superfície de um rotacional com uma integral de linha. Quem faz isso é o teorema de Stokes, e ele diz que:

∫ ∫ S r o t   F → ⋅ N → d σ = ∫ δ S F → ⋅ N → d r →

Sendo que S é uma superfície e δ S é a fronteira dessa superfície. Quando a superfície tem mais de uma curva formando sua fronteira, como a nossa que tem duas curvas como fronteira, precisamos escrever uma soma de duas integrais de linha ali:

∫ ∫ S r o t   F → ⋅ N → d σ = ∫ δ S 1 F → ⋅ N → d r → + ∫ δ S 2 F → ⋅ N → d r →

Mas repara que esse item só colocou uma integral de linha sobre uma curva no lado direito da equação. Ou seja, ele não está considerando que a nossa superfície tem duas curvas como fronteiras.

Repara aqui, as fronteiras da nossa superfície são essas curvas azuis que são circunferências mas de raios diferentes:

Então essa também está errada.

Passo 4

(III) Esse terceiro item diz que

∫ ∫ S r o t   F → ⋅ N → d σ = 2 ∫ 0 2 π Q 2 cos ⁡ t ,   2   s e n   t ,   5 cos ⁡ t d t + 3   ∫ 0 2 π Q 3 cos ⁡ t ,   3   s e n   t ,   0 cos ⁡ t d t

É o mesmo caso do item anterior. Estamos usando teorema de Stokes. Será que aqui ele acerta o que errou no outro? Vamos ver!

De fato, agora a gente tem uma soma de duas integrais de linha do lado direito da equação, apontando para o fato de termos duas fronteiras. Mas será que essas integrais estão corretas?

Elas precisam descrever as fronteiras da nossa superfície, com uma orientação positiva. A gente percebe que de fato ele parametrizou essas curvas e substituiu isso na função Q x , y , z do campo. Na primeira, ele parametriza a curva de cima:

r t = ( 2 cos ⁡ t ,   2   s e n   t ,   5 )

Que está na altura z = 5 e tem raio 2 , porque se a gente fizer a interseção entre z = 9 - x 2 - y 2 e z = 5 :

5 = 9 - x 2 - y 2 ∴ x 2 + y 2 = 4

Dá certinho uma circunferência de raio 2 . Mas ela está orientada no sentido certo? De acordo com a parametrização, ela está no sentido anti-horário.

Para essa curva estar orientada positivamente, a gente tem que se imaginar andando nela, com nossos ombros e cabeça na direção e sentido do vetor normal a S (esse preto, que a gente viu no começo que está orientado para fora).

Se a gente anda no sentido anti-horário, como mostra a setinha, a parte vermelhinha da superfície (a parte de fora) fica a nossa direita, não é? Isso o mostra que esse sentido está errado. P

Quando a gente anda na borda, a superfície precisa estar a nossa esquerda. Isso só acontece se andarmos ali no sentido contrário.

Uma outra forma de ver isso é usando a regra da mão direita. Se você coloca seu dedão na direção da setinha, seus outros dedos devem se mover no sentido do vetor normal, furando a superfície de dentro para fora. E não acontece isso ali no caso da figura.

Então esse item também está errado.

Resposta

Letra a

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