Exercícios Resolvidos de Superfície Aberta

7) Calcule o fluxo do campo F → x ,   y ,   z = x y 2 + e y i → + y z 2 + sin 2 ⁡ x j → + 5 + z x 2 k → , através da superfície aberta S : z = 4 - x 2 - y 2 ,   z ≥ 0 , com n → tendo componente z positiva.

Passo 1

Se o problema nos pediu fluxo de F → sobre uma superfície S , com toda certeza o que ele está buscando é que façamos uma integral de superfície:

∬ S   F → ⋅ d S →

Para resolver essa integral, poderíamos seguir basicamente 2 caminhos:

1º - Fazer de uma forma direta (parametrizando e tudo mais)

2º - Aplicar o Teorema de Gauss.

Veja você que o campo é um pouco complicado para se fazer uma integral de superfície direto com ele. Além disso, se você quer mais certeza ainda que de fato vamos resolver o problema pelo Teorema de Gauss, calcule o divergente...

d i v   F → = ∂ F 1 ∂ x + ∂ F 2 ∂ y + ∂ F 2 ∂ z

Como

F → x ,   y ,   z = x y 2 + e y i → + y z 2 + sin 2 ⁡ x j → + 5 + z x 2 k →

Calculando as derivadas parciais:

1 )                       ∂ F 1 ∂ x = ∂ x y 2 + e y ∂ x = y 2

2 )           ∂ F 2 ∂ y = ∂ y z 2 + sin 2 ⁡ x ∂ y = z 2

3 )                       ∂ F 2 ∂ z = ∂ 5 + z x 2 ∂ z = x 2

Logo...

d i v   F → = ∂ F 1 ∂ x + ∂ F 2 ∂ y + ∂ F 2 ∂ z = x 2 + y 2 + z 2

Pow, com um divergente simples e convidativo (se parece com a equação da esfera) sim, o problema está pedindo que façamos por Gauss!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

O teorema basicamente é a igualdade maravilhosa:

∬ ∂ W   F → ⋅ d S → = ∭ W   d i v   F →   d V

Mas não podemos aplicar essa integral assim... De qualquer forma. Precisamos averiguar as condições do Teorema que nos pede:

1º - Uma superfície fechada ∂ W delimitando o sólido W :

2º - Sem singularidades na função Vetorial:

3º - Superfície orientada positivamente:

Vem comigo averiguar essas condições ;D

Passo 3

1º - Uma superfície fechada ∂ W delimitando o sólido W :

S : z = 4 - x 2 - y 2 ,   z ≥ 0

Veja que ela nos representa uma esfera que termina em z = 0 da boca pra baixo. Infelizmente ela é uma superfície aberta, logo, para aplicar o Teorema teremos que fecha-la. Podemos fazer isso com o plano z = 0 ...

Veja então que o sólido W onde devemos integrar agora é fechado pelas superfícies S e por esse plano que vamos chamar de S 2 , logo...

∬ ∂ W   F → ⋅ d S → = ∭ W   d i v   F →   d V       →

∬ S   F → ⋅ d S → + ∬ S 2   F → ⋅ d S → = ∭ W   d i v   F →   d V   →

Como queremos o fluxo só em S , isolemos...

∬ S   F → ⋅ d S → = ∭ W   d i v   F →   d V - ∬ S 2   F → ⋅ d S →

Passo 4

2º - Sem singularidades na função Vetorial:

F → x ,   y ,   z = x y 2 + e y i → + y z 2 + sin 2 ⁡ x j → + 5 + z x 2 k →

Esse campo Vetorial funciona em todas as situações, afinal ele não tem nenhuma divisão por 0 ou algo do tipo.

3º - Superfície orientada positivamente:

Bem, isso significa que precisamos de uma superfície com vetores normais saindo do sólido fechado por ela, o que já acontece lá do enunciado, afinal o vetor n → tem a componente z positiva...

Passo 5

Bem, com as três condições sendo satisfeitas, podemos aplicar a igualdade do Teorema sem nenhuma restrição...

∬ S   F → ⋅ d S → = ∭ W   d i v   F →   d V - ∬ S 2   F → ⋅ d S →

Então se queremos a integral de superfície S , calculemos a integral tripla e essa integral de superfície em cima de S 2 . Eu sei, parece insano isso neh? Trocando uma integral para resolver duas... Mas cara, acredite em mim, essa é a maneira ais rápida que temos !

Passo 6

Então vamos lá, e começando com a integral tripla...

∭ W   d i v   F →   d V = ∭ W   x 2 + y 2 + z 2   d V

Descrevendo W :

Como estamos falando de um pedaço de uma esfera, podemos utilizar as mudanças para coordenadas esféricas:

x = r cos ⁡ θ sin ⁡ φ

y = r sin ⁡ θ sin ⁡ φ

z = r cos ⁡ φ

Onde o Jacobiano dessa mudança é:

J = r 2 sin ⁡ φ

E uma equação que nos ajuda muito é a equação da esfera:

x 2 + y 2 + z 2 = r 2

Passo 7

Não devemos sair de uma mudança de coordenadas sem antes dizer onde os parâmetros variam:

Para encontrar a variação de r e θ , devemos olhar pra projeção do sólido no plano x y ...

Veja que essa projeção se parece muito pelo método gráfico com um círculo. Não podemos ficar no “se parece” neh? Devemos ter certeza, por isso vamos encontrar a equação dessa projeção.

Observe que ela é o encontro da equação do plano z = 0 com a equação do cone: z = 4 - x 2 - y 2

0 = 4 - x 2 - y 2 →

0 = 4 - x 2 - y 2 →

x 2 + y 2 = 4

Veja que a intersecção de fato é uma circunferência de raio 2 , onde podemos concluir que o Raio r ...

0 ≤ r ≤ 2

E o ângulo θ ...

0 ≤ θ ≤ 2 π

Já variação do φ , bem ele é o cara que varia de cima pra baixo no sólido:

0 ≤ φ ≤ π 2

Passo 8

Então montando a integral tripla não se esquecendo do Jacobiano...

∭ W   x 2 + y 2 + z 2   d V = ∫ 0 2 π ∫ 0 2 ∫ 0 π 2 r 2   J d φ d r d θ = r 2 sin ⁡ φ

∫ 0 2 π ∫ 0 2 ∫ 0 π 2 r 4 sin ⁡ φ d φ d r d θ = ∫ 0 2 π ∫ 0 2 ∫ 0 π 2 r 4 sin ⁡ φ d φ d r d θ =

Resolvendo a integral de dentro achamos:

∫ 0 2 π ∫ 0 2 r 4 d r d θ = ∫ 0 2 π ∫ 0 2 r 4 d r d θ = ∫ 0 2 π 32 5 d θ = 64 π 5

Eu sei que é tentador terminar a questão aqui, mas não se esqueça de que ainda não chegamos ao valor do fluxo em S , então...

Passo 9

Vamos calcular agora a integral de superfície em S 2 ...

∬ S 2   F → ⋅ n →   d S

S 2 foi a superfície que adicionamos para tampar o buraco, ou seja é o plano z = 0 ...

Essa superfície tem o vetorzinho normal n → apontado para baixo e ele é unitário, então...

n → = 0 ,   0 ,   - 1

Logo...

F → ⋅ n → =

x y 2 + e y ,   y z 2 + sin 2 ⁡ x ,   5 + z x 2 ⋅ 0 ,   0 , -   1 =

- 5 + z x 2

Como no plano o z é 0 , então...

F → ⋅ n → = - 5

Substituindo na integral de superfície...

∬ S 2   F → ⋅ n →   d S = - 5 ∬ S 2     d S

Bem, ficou - 5 vezes a área de S 2 . Ora bolas, S 2 não é uma circunferência de raio 2 ?...

∬ S 2   F → ⋅ n →   d S = - 5 π 2 2 = - 20 π

Passo 10

Regressando a integral do problema...

∬ S   F → ⋅ d S → = ∭ W   d i v   F →   d V - ∬ S 2   F → ⋅ d S → →

∬ S   F → ⋅ d S → = 832 15 π - - 20 π →

∬ S   F → ⋅ d S → = 64 5 π + 20 π =

164 5 π

Resposta

164 5 π

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