Exercícios Resolvidos de Superfície Aberta

Questão 2: Calcule o fluxo

∬ S   F ⋅ d S →

Do campo vetorial

F x ,   y ,   z = x + e z 2 ,   y - e z 2 ,   z + 3

Através da superfície S definida como sendo a porção da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 1 satisfazendo a condição x + y + z ≥ 0 orientada com o vetor norma apontando para fora da esfera.

Passo 1

Bem, o que vamos calcular aqui é uma integral de superfície vetorial de um campo F em cima de uma superfície S :

∬ S   F ⋅ d S →

Poderíamos tentar calcular na marra de forma direta (parametrizando e tudo mais)? Poderíamos! Mas aqui em integrais de superfície a gente precisa ser sagaz para evitar muuuuuitas contas, não é mesmo? Então, devido ao fato de o campo F ser feio, vamos tentar resolver por outro método:

O teorema de GAUSS

O teorema que nos dá uma igualdade maravilhosa entre uma integral de superfície e uma integral tripla:

∬ ∂ R   F ⋅ d S → = ∭ R   d i v   ( F ) d V

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Eu sei! Quem disse que trocar a integral de superfície por uma integral tripla vai facilitar a nossa vida? Nem sempre facilita, por isso se você tiver dúvida se aplica ou não Gauss, sugiro que calcule o divergente primeiro:

d i v F = ∂ F 1 ∂ x + ∂ F 2 ∂ y + ∂ F 3 ∂ z

Onde F 1 , F 2 e F 3 são componentes de F ...

F = F 1 ,   F 2 ,   F 3 = x + e z 2 ,   y - e z 2 ,   z + 3

Calculando as derivadas então...

d i v F = ∂ F 1 ∂ x + ∂ F 2 ∂ y + ∂ F 3 ∂ z     →

d i v F = ∂ x + e z 2 ∂ x + ∂ y - e z 2 ∂ y + ∂ z + 3 ∂ z     →

d i v F = 1 + 1 + 1 = 3

POW! Um divergente bonito como esse, sem qualquer variável no meio, só pode nos estar pedindo para resolver com Gauss ! Bora?

Passo 3

Mas calma lá, jovem! Antes de aplicarmos o teorema em si, devemos verificar se estamos nas condições que o Teorema nos exige:

  1. Ter uma superfície fechada delimitando um sólido R (cuja fronteira a gente chama de ∂ R ).
  2. Ter uma orientação positiva.
  3. E por último, um campo sem singularidades.

Nos próximos três passos, vamos avaliar cada um deles, ok?

Passo 4

A primeira condição exige uma superfície fechada. Vamos ver se isso é verdade no enunciado:

“... superfície S definida como sendo a porção da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 1 satisfazendo a condição x + y + z ≥ 0 ...”

Bem, então a nossa superfície está em cima dessa esfera de raio 1 aqui:

Mas atenção! A superfície não é essa esfera toda aí não, tá? Afinal a condição x + y + z ≥ 0 , pega apenas os pontos da esfera que estão em cima desse plano aí:

E no final das contas sobra a nossa superfície S que queremos o valor do fluxo:

É importante ressaltar também que para aplicar o teorema precisamos de um sólido R , e o sólido é justamente o interior dessa calota polar aí. Essa região tem como bordas ( ∂ R ) a superfície S vermelha e o disco do plano (que também fecha a calota em baixo, saca?):

Se chamarmos esse disco vermelho de S 1 (Só um nome rsrs), isso que acabamos de falar em notação matemática é:

∂ R = S ∪ S 1

Passo 5

Sobre a orientação, a segunda condição do Teorema, bem... Isso se refere ao vetor normal. Pera estar orientado positivo, ele deve estar saindo do sólido, e vejamos o que o problema nos disse sobre ele:

“... orientada com o vetor norma apontando para fora da esfera.”

Pow! Pelo próprio enunciado, o vetor está apontando para fora da esfera, o que significa que ele está apontando para fora da nossa calota também:

E essa já é a orientação positiva , sacou?

Passo 6

Só falta verificarmos se o campo F não tem nenhuma singularidade onde estamos trabalhando:

F x ,   y ,   z = x + e z 2 ,   y - e z 2 ,   z + 3

Veja que esse campo funciona em qualquer ponto do espaço, logo... Ele não tem singularidades alguma ;)

Passo 7

Com as três condições vistas e sendo satisfeitas, podemos finalmente aplicar o teorema sem medo de ser feliz:

∬ ∂ R   F ⋅ d S → = ∭ R   d i v   ( F ) d V     →

Mas veja que a borda de R é a gora a união de duas superfícies:

∂ R = S ∪ S 1

Então...

∬ S   F ⋅ d S → + ∬ S 1   F ⋅ d S → = ∭ R   d i v   ( F ) d V  

A nossa intenção desde o início foi de calcular o fluxo em cima de S (a esfera), logo, vamos isolar e calcular as duas integrais que apareceram. Eu sei que pode parecer doidera o que estamos fazendo, mas vai por mim, é quase sempre o jeito mais easy mesmo .

∬ S   F ⋅ d S → = ∭ R   d i v   ( F ) d V - ∬ S 1   F ⋅ d S →

Passo 8

Vamos começar com a integral tripla:

∭ R   d i v   F d V = ∭ R   3   d V =

3 ∭ R     d V

Bem, a integral tripla de 1 d V é o volume, e cara para a nossa sorte, trata-se de uma calota, então sabemos calcular o volume sem precisar jogar na integral, neh? Eu quero que olhe para a calota e se convença de que se trata exatamente da metade da esfera:

Aí você poderia se perguntar: “Mas o que garante isso?”. É uma boa pergunta e a resposta é que: a esfera está centralizada na origem e o plano que corta a esfera passa exatamente por esse ponto:

x + y + z = 0                   s e   s u b s t i t u i r m o s         0 ,   0 ,   0             →

0 + 0 + 0 = 0

O que prova que o plano de fato passa pela origem. E agora é que vem a graça: toda plano que passa pelo seu centro, corta a esfera em duas partes iguais !

Então...

3 ∭ R     d V = 3 ⋅ 4 3 π r 3 2 = 2 π r 3         c o m o   o   r a i o   é   1 :

∭ R   d i v   F d V = 2 π

Passo 9

Estamos prontos para enfrentar a outra integral de superfície agora:

∬ S 1   F ⋅ d S →

Veja que essa integral de superfície aqui é uma integral em cima do disco que o plano fez com a esfera (por isso as contas vão ser fáceis, quer ver?). Vamos resolvê-la de forma diretona:

  • Primeiro a parametrização:
  • x + y + z = 0     →

    z = - x - y

    Logo, a parametrização, pode ser dada de forma explicita onde os parâmetros são os próprios x e y :

    σ x ,   y = x ,   y ,   - x - y

    Esses parâmetros estão presos dentro da esfera! Caso precise, a gente ver onde eles estão variando direitinho ;)

  • Mas agora é hora de encontrar o termo d S → ...
  • d S → = n →   d S

    e

    n → = N → N →  

    Esse vetor normal tem um bizu para encontra-lo quando a parametrização é em função de x e y assim:

    N → =   - ∂ z ∂ x ,   - ∂ z ∂ y ,   1     →         c o m o         z = - x - y

    N → = 1 ,   1 ,   1

    n → = 1 ,   1 ,   1 3 = 3 3 1 ,   1 ,   1

    Outra observação é que temos que ter cuidado, pois esse vetor normal aí ta apontado pra cima e queremos o que aponta pra baixo, como vimos, então...

    d S → = n →   d s = d S → = 3 3 - 1 , -   1 ,   - 1   d S

  • Substituindo na integral de superfície...

∬ S 1   F ⋅ d S → = ∬ S 1   3 3 x + e z 2 ,   y - e z 2 ,   z + 3 ⋅ - 1 , -   1 ,   - 1   d S =

3 3 ∬ S 1   - x - e z 2 -   y + e z 2 -   z - 3   d S =

3 3 ∬ S 1   - x -   y -   z - 3   d S =

Como pela própria superfície z = - x - y ...

3 3 ∬ S 1   - 3   d S = - 3 ∬ S 1     d S

Epa! Integral de 1 d S é a área da superfície. Como a superfície S 1 (O disco) tem raio 1 ...

∬ S 1   F ⋅ d S → = - 3 π 1 2 = - 3 π

Passo 10

Assim, voltando para a integral que a gente realmente quer (depois de ter calculado duas que a gente não quer):

∬ S   F ⋅ d S → = ∭ R   d i v   F d V - ∬ S 1   F ⋅ d S →   →

∬ S   F ⋅ d S → = 2 π - - 3 π   →

∬ S   F ⋅ d S → = 2 π + 3 π

Resposta

2 π + 3 π

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