Exercícios Resolvidos de Superfície Aberta

Seja S a parte da superfície esférica x 2 + y 2 + z 2 = 1 , com z ≥ 0 , orientada pela normal unitária N → 0,0 , 1 = k → (exterior à esfera). O valor da integral de superfície

∫ ∫ S e y 2 d y ∧ d z + cos ⁡ z 9 + 7 d z ∧ d x + z + 1   d x ∧ d y

é igual a:

a) 7 π 3

b) 5 π 3

c) 4 π 3

d) 10 π 3

e) 8 π 3

Passo 1

Cara, a gente tem um campo vetorial bem feio, uma superfície com vetor normal externo e precisamos calcular uma integral de superfície. Essas são dicas para gente calcular essa integral usando o teorema de Gauss!

Vamos começar calculando o divergente de F → para saber se nossa ideia é boa mesmo. Ele tem essa fórmulinha:

d i v   F = ∂ F 1 ∂ x + ∂ F 2 ∂ y + ∂ F 3 ∂ z

Como o nosso campo é:

F x , y , z = F 1 , F 2 , F 3 = e y 2 , cos ⁡ z 9 + 7 ,   z + 1

Então a gente calcula:

d i v   F = ∂ e y 2 ∂ x + ∂ cos ⁡ z 9 + 7 ∂ y + ∂ z + 1 ∂ z

d i v   F = 0 + 0 + 1 = 1

Nossa o divergente está bem simples. Outra dica de que vamos de Gauss. Vem comigo!

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Passo 2

Cara, Gauss tem umas condições para aplicar. Duas delas já atendemos:

- nosso campo está bem definido em todo x , y , z (já que não temos nenhuma restrição no domínio, tipo um denominador que pode zerar).

- o vetor normal à semiesfera aponta para fora dela, e a esfera é uma superfície lisa.

Maaas, a gente não atende um critério muito importante: temos a equação de uma esfera, mas z ≥ 0 , ou seja, é só a metade de cima da esfera. Isso significa que a nossa superfície não está fechada.

O que a gente faz? Chora? Não! A gente vai fechar essa semiesfera. Com um plano em formato circular, porque planos são simples. Aí a nossa superfície geral vai ser a metade da esfera e esse plano, beleza?

Podemos parametrizar esse plano como:

ϕ x , y = x , y , 0

A componente dele em z é nula porque ele está em z = 0 no espaço. Agora repara aqui nesse gráfico lindão:

Repara que o nosso plano, para fechar a essa superfície, precisa ter o formato da interseção da semiesfera com o plano x y , certo? A equação dela é:

x 2 + y 2 + z 2 = 1 ∴ x 2 + y 2 = 1

Ou seja, uma circunferência. Nosso plano vai estar dentro dessa circunferência. Então a gente pode dizer que o domínio dele é:

D : x 2 + y 2 ≤ 1

Passo 3

Agora vamos montar nossa equação pelo teorema de Gauss. Ele diz que:

∫ ∫ δ W F ⋅ N   d s = ∫ ∫ ∫ W d i v   F d V

Esse δ W é uma superfície fechada. No nosso caso, a superfície fechada é a soma de duas superfícies. A semiesfera S e o nosso plano ϕ . Então a gente pode reescrever essa parte assim:

∫ ∫ S F ⋅ N   d s + ∫ ∫ ϕ F ⋅ N   d s = ∫ ∫ ∫ W d i v   F d V

Lembra que nosso divergente deu 1:

∫ ∫ S F ⋅ N   d s + ∫ ∫ ϕ F ⋅ N   d s = ∫ ∫ ∫ W 1 d V

A integral tripla de 1 é o volume do domínio W . No nosso caso, esse domínio é a metade de uma esfera de raio 1 . A gente consegue calcular isso tranquilinho pela fórmula de volume da esfera:

V s e m i e s f e r a = 1 2 ⋅ 4 3 π r 3 = 2 3 π

∫ ∫ ∫ W 1 d V = 2 3 π

∫ ∫ S F ⋅ N   d s + ∫ ∫ ϕ F ⋅ N   d s = 2 3 π

Então isolamos quem a gente quer achar:

∫ ∫ S F ⋅ N   d s = 2 3 π - ∫ ∫ ϕ F ⋅ N   d s

Só falta calcular essa integral de superfície sobre o plano. Então vamos focar nela!

Passo 4

O campo é aquele estranho né:

F x , y , z = e y 2 , cos ⁡ z 9 + 7 ,   z + 1

A nossa parametrização do plano é:

ϕ x , y = x , y , 0

D : x 2 + y 2 ≤ 1

Esse vai ser o domínio da nossa integral.

A gente precisa começar achando o vetor normal a esse plano. Mas repara que esse plano está dentro de x y . O vetor normal a todo o x y é o vetor N → = 0,0 , 1 , que é o sentido do eixo z , certo?

Então esse vai ser o nosso vetor? Cara, ele com certeza é normal a nossa superfície, mas ele está apontando para fora da nossa semiesfera? Olha ele:

Ele está apontando para dentro da semiesfera. Para apontar para fora, ele precisa estar apontando no sentido oposto. Então só vamos multiplicar ele por - 1 :

N → = 0,0 , - 1

Aí o nosso integrando fica:

F ⋅ N = e y 2 , cos ⁡ z 9 + 7 ,   z + 1 ⋅ 0,0 , - 1 = - z - 1

A gente precisa substituir as componentes do plano aí.

ϕ x , y = x , y , 0 ∴ x = x ,   y = y , z = 0

F ⋅ N = - 1

∫ ∫ ϕ F ⋅ N   d s = ∫ ∫ x 2 + y 2 ≤ 1 - 1   d A

Passo 5

Nossa integral ficou assim:

∫ ∫ ϕ F ⋅ N   d s = - ∫ ∫ x 2 + y 2 ≤ 1 1   d A

A integral dupla sobre esse círculo de raio 1 vai ser igual a área do círculo! Isso porque o argumento dela é 1 . Como a área do círculo é π r 2 e r = 1 :

∫ ∫ ϕ F ⋅ N   d s = - π

Voltando para Gauss:

∫ ∫ S F ⋅ N   d s = 2 3 π - ∫ ∫ ϕ F ⋅ N   d s

∫ ∫ S F ⋅ N   d s = 2 3 π - - π

∫ ∫ S F ⋅ N   d s = 5 3 π

Resposta

Letra b

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