Exercícios Resolvidos de Superfície Aberta

Teorema de Gauss

Considere o campo F x , y , z = ( x / 3 , y / 3 , z / 3 ) e seja S a superfície do cone dado por z 2 = x 2 + y 2 com z ∈ [ 0,2 ] .

Use o Teorema de Gauss para calcular

∬ S   F . d S

(Note que ∂ E ≠ S ).

Passo 1

A superfície do problema é um cone limitado por z = 0 e z = 2 . Como em z = 0 a folha se “fecha”, precisamos nos preocupar apenas em fechar com uma “tampa” esse cone, para aplicar Gauss.

Bom então, sendo S nossa superfície (o cone) e D um disco x 2 + y 2 = 4 em z = 2 que fecha a região, podemos aplicar o teorema. Repare que, juntanto S e D , nós limitamos a região E do problema.

Como a região limitada por S e D é fechada, sendo essa fronteira orientada positivamente (as normais apontam para fora da região), podemos aplicar o Teorema de Gauss:

∬ S   F → . d s + ∬ D   F → . d s = ∭ E   d i v F →   d V

Como queremos a integral em S :

∬ S   F → . d s = ∭ E   d i v F →   d V - ∬ D   F → . d s

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora precisamos calcular d i v F → . Temos:

F x , y , z = x 3 , y 3 , z 3

d i v F → = ∂ F 1 ∂ x +   ∂ F 2 ∂ y + ∂ F 3 ∂ z = 1 3 + 1 3 + 1 3 = 1

Passo 3

Agora vamos montar a integral

∬ S   F → . d s = ∭ E   1   d x d y d z - ∬ D   F → . d s

Se você reparar, essa integral tripla é exatamente o volume do cone (que foi calculado na letra a) dessa questão). Podemos calcular esse volume também usando a fórmula:

V = 1 3 á r e a   d a   b a s e   × a l t u r a = 1 3 × π 2 2 × 2 = 8 π 3

Isso nos dá

∬ S   F → . d s = 8 π 3 - ∬ D   F → . d s

Passo 4

Beleza, então precisamos só da integral no disco. Temos x 2 + y 2 ≤ 4 em z = 2 .

Uando coordenadas polares, temos a parametrização

φ r , θ = r cos ⁡ θ ,   r   s e n   θ , 2

Onde 0 ≤ r ≤ 2 e 0 ≤ θ ≤ 2 π .

Agora, vamos calcular a normal:

∂ φ ∂ r = cos ⁡ θ ,   s e n   θ , 0

∂ φ ∂ θ = - r s e n   θ , r cos ⁡ θ , 0

∂ φ ∂ r × ∂ φ ∂ θ = i j k cos ⁡ θ s e n   θ 0 - r s e n   θ r cos ⁡ θ 0 = 0,0 , r

Como a orientação da região implica que a normal ao plano aponte para cima, encontramos o vetor certo.

Agora, vamos usar a fórmula:

∬ D   F → . d s = ∬ D   F φ . ∂ φ ∂ r × ∂ φ ∂ θ d r d θ

O campo em função de φ fica:

F → x , y , z = x 3 , y 3 , z 3

F φ = 1 3 r cos ⁡ θ ,   r   s e n   θ , 2

Levando o que temos para a integral:

= 1 3 ∫ 0 2 π ∫ 0 2 r cos ⁡ θ ,   r   s e n   θ , 2 . 0,0 , r d r d θ =

= 2 3 ∫ 0 2 π ∫ 0 2 r d r d θ =

= 1 3 ∫ 0 2 π r 2 0 2 d θ =

= 4 3 ∫ 0 2 π d θ =

= 8 π 3

Passo 5

Como a integral que queremos é dada por:

∬ S   F → . d s = 8 π 3 - ∬ D   F → . d s = 8 π 3 - 8 π 3 = 0

Encontramos nossa resposta.

Resposta

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