Exercícios Resolvidos de Superfície Aberta

Teorema de Gauss

Considere o campo

F → x , y , z = y z , x z , x y

Usando o Teorema da Divergência, calcule o fluxo de F através da superfície S = x , y , z ∈ R 3 : z = x 2 + y 2 , 0 ≤ z ≤ 1 .

Passo 1

A superfície do problema é uma folha de cone z = x 2 + y 2 , limitada por z = 0 e z = 1 . Como em z = 0 a folha se “fecha”, precisamos nos preocupar apenas em fechar com uma “tampa” esse cone, para aplicar Gauss.

Bom então, sendo S nossa superfície (o cone) e D um disco x 2 + y 2 ≤ 1 em z = 1 que fecha a região, podemos aplicar o teorema.

Como a região limitada por S e D é fechada, sendo essa fronteira orientada positivamente (as normais apontam para fora da região), podemos aplicar o Teorema de Gauss:

∬ S   F → . d s + ∬ D   F → . d s = ∭ w   d i v F →   d V

Como queremos a integral em S :

∬ S   F → . d s = ∭ w   d i v F →   d V - ∬ D   F → . d s

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora precisamos calcular d i v F → . Temos:

F → x , y , z = y z , x z , x y

d i v F → = ∂ F 1 ∂ x +   ∂ F 2 ∂ y + ∂ F 3 ∂ z = 0 + 0 + 0 = 0

Passo 3

Agora vamos montar a integral

∬ S   F → . d s = ∭ w   0   d x d y d z - ∬ D   F → . d s

∬ S   F → . d s = - ∬ D   F → . d s

Onde W é o volume que vimos no passo 1.

Passo 4

Beleza, então precisamos só da integral no disco. Temos x 2 + y 2 ≤ 1 em z = 1 .

Uando coordenadas polares, temos a parametrização

φ r , θ = r cos ⁡ θ ,   r   s e n   θ , 1

Onde 0 ≤ r ≤ 1 e 0 ≤ θ ≤ 2 π .

Agora, vamos calcular a normal:

∂ φ ∂ r = cos ⁡ θ ,   s e n   θ , 0

∂ φ ∂ θ = - r s e n   θ , r cos ⁡ θ , 0

∂ φ ∂ r × ∂ φ ∂ θ = i j k cos ⁡ θ s e n   θ 0 - r s e n   θ r cos ⁡ θ 0 = 0,0 , r

Como a orientação da região implica que a normal ao plano aponte para cima, encontramos o vetor certo.

Agora, vamos usar a fórmula:

∬ S   F . d S = ∬ D   F φ . ∂ φ ∂ r × ∂ φ ∂ θ d r d θ

O campo em função de φ fica:

F → x , y , z = y z , x z , x y

F φ = r   s e n   θ , r cos ⁡ θ , r 2 s e n θ cos ⁡ θ

Levando o que temos para a integral:

= ∫ 0 2 π ∫ 0 1 r   s e n   θ , r cos ⁡ θ , r 2 s e n θ cos ⁡ θ . 0,0 , r d r d θ =

= ∫ 0 2 π ∫ 0 1 r 3 s e n θ cos ⁡ θ d r d θ =

= 1 4 ∫ 0 2 π r 4 s e n θ cos ⁡ θ 0 1 d θ =

= 1 4 ∫ 0 2 π s e n θ cos ⁡ θ d θ =

= 1 8 s e n 2 θ 0 2 π = 0

Passo 5

Como a integral que queremos é dada por:

∬ S   F → . d s = - ∬ D   F → . d s = 0

Encontramos nossa resposta.

Resposta

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