Exercícios Resolvidos de Superfície Aberta

Diomara Pinto e Maria Cândida Ferreira Morgado, Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis, 3ª ed. Rio de Janeiro: UFRJ, 2009, pp. 307-9.

Considere a superfície S obtida girando-se o segmento de reta que liga os pontos ( 1,0 , 1 ) e ( 0,0 , 3 ) em torno do eixo z . Calcule:

∬ S   r o t F → ∙ n → d S

Onde n é o campo dos vetores normais exterior a S e F é um campo vetorial em R 3 definido por:

F → = - y 3 3 + z e x , x 3 3 - cos ⁡ y z , x y

Passo 1

Reparando que os pontos estão ambos no plano y = 0   ( x z ) , desenhamos a superfície:

Podemos fecha-la por uma tampa S ' , tal que fechemos o sólido W . S ' é definida por:

x 2 + y 2 ≤ 1

z = 1

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Passo 2

Calculando o rotacional do campo:

r o t F → = i j k ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z - y 3 3 + z e x x 3 3 - cos ⁡ y z x y = x - y s e n y z , e x - y , x 2 + y 2

Passo 3

Pelo Teorema de Gauss, sabemos que:

∬ ∂ W   r o t F → ∙ n → d S = ∬ s   r o t F → ∙ n → d S + ∬ b a s e   r o t F → ∙ n → d S = ∭ W   d i v r o t F → d W

Calculando o divergente de r o t ( F ) :

d i v r o t F → = 1 - 1 + 0

d i v r o t F → = 0

∬ s   r o t F → ∙ n → d S + ∬ b a s e   r o t F → ∙ n → d S = ∭ W   0 × d W

∬ s   r o t F → ∙ n → d S + ∬ b a s e   r o t F → ∙ n → d S = 0

∬ s   r o t F → ∙ n → d S = - ∬ b a s e   r o t F → ∙ n → d S

Passo 4

Para calcular a integral nova, fazemos uma parametrização da superfície que é a base:

ϕ t , θ = t cos ⁡ θ , t   s e n θ , 1

θ ∈ 0,2 π

t ∈ 0,1

Achando o vetor normal:

n → = ∂ ϕ ∂ t × ∂ ϕ ∂ θ

n → = i j k cos ⁡ θ s e n θ 0 - t   s e n θ t cos ⁡ θ 0

n → = 0,0 , t

Que está apontando para dentro da superfície, como vemos no desenho, portanto trocamos o sinal para respeitar o enunciado e ter um vetor normal exterior:

n → = 0,0 , - t

Passo 5

Substituindo a parametrização na equação de campo e sabendo que a primeira e a segunda coordenadas não influem em nada pois o produto escalar com o normal vai zerar elas:

r o t F → = x - y s e n y z , e x - y , x 2 + y 2

r o t ( F → ) = ( ? , ? , t 2 )

r o t ( F → ) ∙ n → = 0 + 0 - t 3

r o t ( F → ) ∙ n = - t 3

Substituindo na fórmula, juntamente com os limites de integração da parametrização:

I = - ∫ 0 2 π ∫ 0 1 t 3 d t d θ

I = - 2 π t 4 4 0 1

I = - 2 π × 1 4

I = - π 2

Substituindo na integral que queríamos:

∬ s   r o t F → ∙ n → d S = - ∬ b a s e   r o t F → ∙ n → d S

∬ s   r o t F → ∙ n → d S = - - π 2

Resposta

∬ s   r o t F → ∙ n → d S = π 2

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